arithmétique des polynômes

Prenons deux polynômes comme on prendrait deux nombres entiers. On peut demander si l’un divise l’autre, effectuer une division avec quotient et reste, puis chercher leur plus grand facteur commun. La taille d’un polynôme se lit alors par son degré, et non par sa valeur numérique. En répétant les divisions, les restes deviennent de degré de plus en plus petit. Le dernier reste non nul donne le PGCD, à un facteur constant non nul près. Cette mécanique constitue le cœur de l’arithmétique des polynômes.

L’arithmétique des polynômes étudie la divisibilité, les diviseurs communs et les restes dans l’anneau des polynômes dont les coefficients appartiennent à un corps, par exemple les nombres rationnels. Notons ce corps K et l’indéterminée X ; l’anneau considéré est $K[X]K[X]$. Le degré joue le rôle d’une mesure euclidienne.

Pour un polynôme A et un polynôme non nul B, il existe un unique quotient Q et un unique reste R tels que $A=BQ+RA=BQ+R$, avec R nul ou de degré strictement inférieur à celui de B. Le polynôme B divise A exactement lorsque R est nul. En appliquant cette division aux restes successifs, l’algorithme d’Euclide s’arrête, car leurs degrés décroissent strictement.

Si A et B ne sont pas simultanément nuls, le dernier reste non nul est un plus grand commun diviseur de A et B : il divise les deux, et tout diviseur commun le divise. Ce PGCD n’est déterminé qu’à multiplication par une constante non nulle. On choisit donc généralement sa version unitaire, dont le coefficient dominant vaut 1. Ces propriétés reposent sur le fait que les coefficients sont pris dans un corps.

Travaillons avec des coefficients rationnels. Les données sont le polynôme A défini par $A=X^4-1A=X^4-1$ et le polynôme B défini par $B=X^3-1B=X^3-1$. Nous cherchons leur PGCD unitaire. Les deux polynômes sont non nuls et le degré de A est supérieur à celui de B.

1. Divisons A par B. Le quotient est X et le reste vaut X − 1 : Le reste a bien le degré 1, strictement inférieur au degré 3 de B.

2. Divisons ensuite B par le reste X − 1 : Le nouveau reste est nul, donc l’algorithme s’arrête.

3. Le dernier reste non nul est X − 1. Comme son coefficient dominant vaut 1, il est déjà unitaire : $\mathrm{PGCD}(A,B)=X-1\backslash operatorname\{PGCD\}(A,B)=X-1$.

4. Contrôlons le résultat en multipliant : Le facteur X − 1 divise donc bien les deux polynômes. La chaîne des deux divisions montre aussi pourquoi aucun facteur commun de degré supérieur ne subsiste.

Pour savoir si deux polynômes possèdent un facteur commun non constant, on calcule leur PGCD. Pour deux polynômes non simultanément nuls, ce PGCD est non nul ; s’il est de degré zéro, ils sont premiers entre eux. Lorsque les factorisations complètes sont difficiles à obtenir, l’algorithme d’Euclide évite de les chercher séparément.

Pour réduire une fraction rationnelle, on calcule le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, puis on divise les deux par ce facteur. Une simplification directe reste préférable lorsqu’un facteur commun est déjà visible ; le PGCD fournit une procédure systématique dans les autres cas.

Pour vérifier qu’un polynôme B divise un polynôme A, on effectue leur division euclidienne. Un reste nul prouve la divisibilité. Si seul le quotient exact est recherché et qu’une factorisation de A fait déjà apparaître B, la lecture de cette factorisation suffit.

Arithmétique des polynômes et arithmétique des entiers. Les opérations se ressemblent, mais la mesure euclidienne n’est pas la même : on utilise le degré pour les polynômes et la valeur absolue pour les entiers. Ainsi, 2 n’est pas inversible dans les entiers, tandis que le polynôme constant 2 est inversible dans l’anneau des polynômes à coefficients rationnels.

Division euclidienne et fraction rationnelle. La division euclidienne produit un quotient polynomial et un reste de degré plus petit. Une fraction rationnelle conserve une division exacte par un dénominateur. Par exemple, la division de X² + 1 par X + 1 donne le quotient X − 1 et le reste 2, tandis que $\frac{X^2+1}{X+1}=X-1+\frac{2}{X+1}\backslash frac\{X^2+1\}\{X+1\}=X-1+\backslash frac\{2\}\{X+1\}$.

Diviseur nul. La division euclidienne par le polynôme nul n’existe pas. Le symptôme est l’impossibilité de choisir un terme dominant à éliminer. Il faut vérifier que le diviseur est non nul avant de commencer.

Coefficients hors d’un corps. Dans un anneau tel que les entiers, le coefficient dominant du diviseur n’est pas toujours inversible. Par exemple, 2X + 1 ne se divise pas euclidiennement par 2 dans l’anneau des polynômes à coefficients entiers. Il faut changer de cadre, par exemple passer aux coefficients rationnels, ou employer une notion de pseudo-division.

PGCD non normalisé. Si D est un PGCD, toute constante non nulle multipliant D en donne un autre. Deux résultats qui diffèrent seulement par un tel facteur ne se contredisent pas. Pour obtenir une réponse unique, on rend le PGCD unitaire.

Deux polynômes nuls. L’algorithme ne possède alors aucun dernier reste non nul. Selon la convention adoptée, le PGCD de 0 et 0 est fixé à 0 ou laissé indéfini. Il faut annoncer cette convention au lieu d’appliquer mécaniquement la règle du dernier reste.

Division euclidienne — Approfondir l’unicité du quotient et du reste qui fait fonctionner chaque étape de l’algorithme.

PGCD — Revoir la notion de diviseur commun et le principe de l’algorithme d’Euclide dans son cadre arithmétique.

Anneau euclidien — Situer les polynômes parmi les structures où une division avec reste conduit à un PGCD.