algèbre des polynômes

Prenez une expression comme x³ − 2x² − x + 2. On peut l’additionner à une autre, la multiplier, la diviser avec reste dans certains cadres, ou chercher les facteurs qui la composent. L’algèbre des polynômes étudie ces opérations et les règles qui restent valables pour toute une famille de polynômes.

Le choix des coefficients compte : travailler avec des entiers, des rationnels ou des nombres réels ne donne pas toujours les mêmes divisions ni les mêmes factorisations.

Soit A un anneau commutatif possédant un élément unité : c’est un ensemble de coefficients que l’on peut additionner, soustraire et multiplier, avec un élément jouant le rôle de 1 et sans que l’ordre d’une multiplication change le résultat. La lettre x est une indéterminée, c’est-à-dire un symbole formel que l’on manipule sans lui attribuer de valeur. L’anneau des polynômes à coefficients dans A se note $A[x]A[x]$. Ses éléments sont les sommes formelles finies suivantes, où les coefficients a₀, …, a_n appartiennent à A :

L’addition se fait coefficient par coefficient et la multiplication distribue chaque terme sur les autres. Ces deux lois donnent à $A[x]A[x]$ une structure d’anneau. Si A est un corps, tout polynôme peut être divisé par un polynôme non nul avec un quotient et un reste uniques, le reste ayant un degré strictement inférieur à celui du diviseur. La factorisation dépend elle aussi de A : un même polynôme peut être irréductible sur un corps et se décomposer sur un autre. Plusieurs indéterminées conduisent aux anneaux $A[x_1,\dots ,x_m]A[x\_1,\backslash ldots,x\_m]$, où la division ne suit plus automatiquement la règle euclidienne à une variable.

Dans l’anneau des polynômes à coefficients rationnels, considérons le polynôme P défini par $P(x)=x^3-2x^2-x+2P(x)=x^3-2x^2-x+2$. Les données sont le diviseur x − 1 et les coefficients successifs 1, −2, −1 et 2.

1. On évalue P en 1 : P(1) = 1 − 2 − 1 + 2 = 0. Le reste de la division par x − 1 est donc nul.

2. La division donne le quotient x² − x − 2 : $P(x)=(x-1)(x^2-x-2)P(x)=(x-1)(x^2-x-2)$.

3. Le quotient se factorise à son tour en (x − 2)(x + 1). Une représentation de cette décomposition relie le polynôme initial aux trois facteurs linéaires obtenus.

Ainsi, $P(x)=(x-1)(x-2)(x+1)P(x)=(x-1)(x-2)(x+1)$. Pour contrôler le résultat, les racines candidates −1, 1 et 2 annulent P, et le produit des termes dominants redonne x³.

Pour simplifier une expression ou résoudre une équation polynomiale, on cherche une factorisation. Si aucune racine simple n’apparaît dans le corps choisi, on conserve un facteur irréductible ou l’on précise qu’on élargit le corps des coefficients.

Pour calculer un reste ou vérifier qu’un facteur x − a est présent, on évalue le polynôme au nombre a. Si cette valeur est nulle, x − a divise le polynôme ; sinon, la valeur obtenue est précisément le reste.

Pour effectuer une division avec un quotient et un reste, on vérifie d’abord le cadre des coefficients. Sur un corps comme les rationnels, la division euclidienne convient ; dans un anneau plus général, une pseudo-division ou un changement de domaine peut être nécessaire.

Polynôme et fonction polynomiale. Un polynôme est une expression formelle, tandis qu’une fonction polynomiale associe une valeur à chaque élément du domaine. Sur le corps à deux éléments, le polynôme x² − x n’est pas nul, mais sa fonction vaut zéro pour les deux éléments.

Racines et factorisation complète. Trouver une racine a révèle le facteur x − a, mais tous les facteurs ne sont pas nécessairement linéaires dans le corps choisi. Sur les rationnels, le polynôme x² − 2 n’a pas de racine et reste irréductible.

Division hors d’un corps. Dans l’anneau des polynômes à coefficients entiers, diviser x par le polynôme constant 2 exigerait le coefficient 1/2, qui n’est pas entier. La division euclidienne usuelle n’y est donc pas toujours possible ; il faut changer d’anneau ou employer une autre procédure.

Factorisation relative aux coefficients. Le polynôme x² − 2 est irréductible sur les rationnels, mais il se factorise sur les réels en $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-\backslash sqrt\{2\})(x+\backslash sqrt\{2\})$. Il faut toujours annoncer l’anneau ou le corps de base.

Polynôme nul. Tous ses coefficients sont nuls, mais son degré n’est pas un entier ordinaire : il est laissé indéfini ou fixé à moins l’infini selon la convention. Il ne peut jamais servir de diviseur dans une division euclidienne.

Unicité des facteurs. Même dans un cadre favorable, l’ordre des facteurs peut changer et chaque facteur peut être multiplié par une unité si un autre compense. On énonce donc l’unicité à l’ordre et aux facteurs inversibles près ; avec des diviseurs de zéro, des propriétés familières peuvent encore échouer.

La Division euclidienne détaille la construction du quotient et du reste qui structure les calculs dans un anneau de polynômes à une variable.

La fiche Factorisation montre comment reconnaître et exploiter une écriture en produit.

La notion d’Irréductible (polynôme) précise quand la décomposition s’arrête dans le domaine de coefficients choisi.