anneau de Dedekind

Dans l’anneau des entiers ℤ, le nombre 60 se décompose en facteurs premiers : 2² × 3 × 5. Un anneau de Dedekind conserve une organisation comparable lorsque l’on remplace les nombres par des idéaux, c’est-à-dire certains ensembles stables par addition et multiplication par les éléments de l’anneau.

Ses quatre exigences empêchent les anomalies essentielles : les calculs commutent, il n’y a pas de diviseurs de zéro, les racines fractionnaires pertinentes ne manquent pas, et les idéaux restent contrôlables par un nombre fini de générateurs.

Un anneau de Dedekind est un anneau commutatif muni d’un élément unité qui satisfait quatre conditions. Il est d’abord intègre : un produit nul impose que l’un de ses facteurs soit nul. Cette propriété permet de former son corps des fractions.

L’anneau est ensuite intégralement clos dans ce corps : toute fraction qui annule un polynôme unitaire à coefficients dans l’anneau appartient déjà à l’anneau. Il est noethérien, donc chacun de ses idéaux est engendré par un nombre fini d’éléments. Enfin, tout idéal premier non nul y est maximal : aucun idéal propre ne peut se placer strictement entre lui et l’anneau entier.

Ces conditions donnent aux idéaux non nuls propres une arithmétique rigide : chacun se décompose de manière unique en produit d’idéaux premiers non nuls, à l’ordre des facteurs près. L’anneau ℤ en fournit le modèle le plus familier. Plus généralement, les anneaux d’entiers de corps de nombres sont le cadre central de cette notion.

La structure repose sur cinq éléments. Les opérations d’addition et de multiplication forment l’anneau commutatif unitaire. L’intégrité autorise son plongement dans un corps de fractions. La clôture intégrale contrôle les éléments de ce corps qui satisfont une équation unitaire. Les idéaux, enfin, portent les conditions noethérienne et de maximalité.

L’intégrité doit précéder la clôture intégrale, car elle fournit le corps dans lequel les fractions sont examinées. La condition noethérienne rend chaque idéal fini par ses générateurs, tandis que la maximalité empêche d’insérer un idéal propre au-dessus d’un idéal premier non nul. Ensemble, ces propriétés suffisent à obtenir la factorisation des idéaux non nuls en idéaux premiers.

Le choix des symboles ou l’ordre d’écriture des facteurs ne définit pas l’objet. Ce sont les lois de l’anneau et les quatre conditions structurelles qui permettent d’identifier un anneau de Dedekind et de calculer avec ses idéaux.

Prenons l’anneau des entiers ℤ et l’idéal I engendré par 60, noté (60). Les données sont l’entier 60 et ses trois diviseurs premiers 2, 3 et 5.

1. L’anneau ℤ est commutatif, unitaire, intègre, intégralement clos et noethérien. Ses idéaux premiers non nuls, de la forme (p) pour un nombre premier p, sont maximaux. C’est donc un anneau de Dedekind.

2. La factorisation de l’entier est $60=2^2\times 3\times 560=2^2\backslash times3\backslash times5$.

3. Elle induit la factorisation de l’idéal : $(60)=(2{)}^2(3)(5)(60)=(2)^2(3)(5)$. Les facteurs (2), (3) et (5) sont des idéaux premiers, et l’exposant 2 signale que (2) intervient deux fois.

4. Le contrôle consiste à remultiplier les générateurs : 2 × 2 × 3 × 5 = 60. Le produit des quatre facteurs redonne bien l’idéal I de départ.

Dans ℤ, factoriser l’idéal (60) revient à factoriser 60. On travaille directement avec les nombres, car tous les idéaux de ℤ sont engendrés par un seul entier.

Dans un anneau d’entiers algébriques, la factorisation des éléments peut ne plus être unique. On passe alors aux idéaux lorsque deux décompositions incompatibles apparaissent : leur factorisation première reste unique dans un anneau de Dedekind.

Pour déterminer si un anneau entre dans ce cadre, on ne se contente pas de tester quelques nombres. On vérifie successivement l’intégrité, la clôture intégrale, le caractère noethérien et la maximalité de chaque idéal premier non nul. Si tous les idéaux sont principaux, le critère plus fort d’anneau principal peut être plus pratique.

Anneau principal. Dans un anneau principal, chaque idéal est engendré par un seul élément. Un anneau de Dedekind n’exige pas cela : ses idéaux peuvent demander plusieurs générateurs. ℤ est à la fois principal et de Dedekind, mais la réciproque n’est pas générale.

Anneau factoriel. La factorialité concerne la décomposition des éléments en éléments irréductibles. La propriété caractéristique d’un anneau de Dedekind concerne la décomposition de ses idéaux non nuls. Le test porte donc sur l’objet que l’on factorise.

Anneau noethérien. Le caractère noethérien garantit seulement que les idéaux sont de type fini. Pour conclure qu’un anneau est de Dedekind, il faut encore l’intégrité, la clôture intégrale et la maximalité des idéaux premiers non nuls.

L’idéal nul est à part. Dans un anneau intègre, l’idéal (0) est premier, mais la définition demande seulement que les idéaux premiers non nuls soient maximaux. Exiger aussi la maximalité de (0) exclurait tous les cas qui ne sont pas des corps.

Le cas d’un corps dépend de la convention. Un corps satisfait les quatre conditions données, la dernière étant vide puisqu’il n’a aucun idéal premier non nul. Certains auteurs excluent pourtant les corps de la définition ; il faut donc contrôler la convention employée.

La clôture est relative au corps des fractions. Dans l’écriture p/q, les deux termes appartiennent à l’anneau et q est non nul. Chercher des racines dans une extension plus grande change la question et peut faire croire à tort que l’anneau n’est pas intégralement clos.

Une condition isolée ne suffit pas. La finitude des générateurs ne garantit ni l’intégrité ni la clôture intégrale. Au moindre échec, il faut nommer la propriété effectivement prouvée plutôt que conclure « de Dedekind ».

L’anneau noethérien précise la condition de finitude imposée aux idéaux et explique pourquoi un nombre fini de générateurs suffit.

L’anneau intègre détaille l’absence de diviseurs de zéro, condition nécessaire à la construction du corps des fractions.

L’article De nouveaux nombres avec Richard Dedekind replace les entiers algébriques et les idéaux dans leur contexte mathématique.