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Intégralement clos (anneau)
Un anneau intègre A est dit intégralement clos (dans son corps des fractions K) si tout élément de K entier sur A (racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A) appartient déjà à A. Les anneaux principaux et les anneaux de Dedekind sont intégralement clos. La clôture intégrale de A dans K est le plus petit sous-anneau de K intégralement clos contenant A. Les anneaux intégralement clos jouent un rôle central en géométrie algébrique (normalisation d'une variété) et en théorie algébrique des nombres.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir l’intégralité d’un élément au moyen d’un polynôme unitaire.
- Tester sur ℤ[√5] un élément entier absent de l’anneau.
- Distinguer clôture intégrale, corps des fractions et factorialité.
En clair
Imaginez un anneau de nombres dans lequel on peut former des fractions. Certaines de ces fractions satisfont une équation polynomiale très particulière, dont le coefficient dominant vaut 1. Elles sont alors dites entières sur l’anneau.
L’anneau est intégralement clos lorsqu’aucun de ces éléments ne manque : toute solution de ce type qui se trouve dans son corps des fractions était déjà dans l’anneau. La propriété exprime donc une absence de « trou algébrique » à l’intérieur de ce corps.
Définition
Soit A un anneau commutatif intègre, c’est-à-dire sans diviseur de zéro, et soit K son corps des fractions. Un élément x de K est entier sur A s’il annule un polynôme unitaire à coefficients dans A. Autrement dit, il existe un entier n au moins égal à 1 et des coefficients a0, …, an−1 dans A tels que .
L’anneau A est intégralement clos dans K lorsque tout élément de K entier sur A appartient à A. La mention de K est essentielle : la propriété examine seulement les éléments du corps des fractions, et non ceux d’une extension arbitraire. L’ensemble des éléments de K entiers sur A forme la clôture intégrale de A dans K.
Tout anneau principal est intégralement clos. Plus généralement, tout anneau factoriel l’est aussi, ainsi que tout anneau de Dedekind. En géométrie algébrique, pour un domaine affine, passer à cette clôture correspond algébriquement à une normalisation.
De quoi c'est fait
Quatre éléments structurent la notion. L’anneau intègre A fournit les coefficients et permet de former des fractions sans ambiguïté. Son corps des fractions K est le domaine dans lequel on cherche d’éventuels éléments manquants. Un polynôme unitaire, dont le coefficient du terme de plus haut degré vaut 1, sert de test d’intégralité. La clôture intégrale rassemble dans K tous les éléments qui réussissent ce test.
Le choix de A détermine à la fois K et les coefficients autorisés dans le test. Réciproquement, comparer A à sa clôture intégrale décide la propriété : ils coïncident exactement lorsque A est intégralement clos. Ces données suffisent à rechercher un témoin d’échec ou à certifier qu’aucun élément entier de K n’est absent de A.
Un exemple, pas à pas
Prenons l’anneau A = ℤ[√5] et son corps des fractions K = ℚ(√5). Considérons dans K l’élément . Nous allons vérifier qu’il révèle un trou intégral dans A.
1. À partir de 2α = 1 + √5, on obtient (2α − 1)2 = 5.
2. En développant puis en divisant par 4, on trouve α2 − α − 1 = 0. Le polynôme X2 − X − 1 est unitaire et ses coefficients appartiennent à ℤ, donc à A. Ainsi, α est entier sur A.
3. Pourtant, α n’appartient pas à A : une écriture a + b√5 avec a et b entiers imposerait a = b = 1/2, ce qui est impossible.
Le verdict est donc vérifiable : A n’est pas intégralement clos. Sa clôture intégrale dans K est ℤ[(1 + √5)/2]. Les inclusions entre l’anneau, sa clôture intégrale et son corps des fractions rendent visible l’emplacement exact de l’élément α.
En pratique
En théorie algébrique des nombres, on remplace souvent un ordre non intégralement clos par l’anneau des entiers de son corps de nombres. Le critère observable est l’existence d’un élément du corps entier sur l’ordre mais absent de celui-ci, comme dans ℤ[√5].
En géométrie algébrique, la fermeture intégrale intervient dans la normalisation d’une variété affine irréductible. Lorsque l’anneau de coordonnées possède des éléments entiers manquants dans son corps de fonctions, la normalisation fournit l’anneau corrigé.
Pour établir qu’un anneau n’est pas intégralement clos, un seul témoin suffit : il faut exhiber une fraction, donner son équation unitaire et prouver qu’elle n’appartient pas à l’anneau. Pour prouver la propriété, on préfère un critère structurel, par exemple montrer que l’anneau est factoriel.
À ne pas confondre
Entier sur A et élément de A. Un élément de A est toujours entier sur A, car il annule un polynôme unitaire de degré 1. La réciproque dans le corps des fractions caractérise précisément les anneaux intégralement clos ; l’élément (1 + √5)/2 tranche le cas de ℤ[√5].
Clôture intégrale et corps des fractions. Le corps des fractions autorise tous les quotients de deux éléments de A dont le dénominateur est non nul. La clôture intégrale n’en retient que ceux qui annulent un polynôme unitaire sur A. Dans ℚ(√5), 1/2 appartient au corps, mais n’est pas entier sur ℤ[√5].
Intégralement clos et factoriel. Être factoriel implique être intégralement clos, mais les deux propriétés ne sont pas synonymes. Un anneau de Dedekind peut être intégralement clos sans être principal ni factoriel lorsque certains idéaux ne sont pas principaux.
Limites et pièges
L’hypothèse d’intégrité compte. La définition utilisée ici suppose que A est un domaine intègre, afin que son corps des fractions existe. Si l’anneau possède des diviseurs de zéro, il faut préciser un autre cadre, par exemple l’anneau total des fractions, et reformuler la propriété.
Le polynôme doit être unitaire. Toute fraction satisfait une équation polynomiale à coefficients dans A après élimination des dénominateurs. Cela ne prouve pas son intégralité. Pour 1/2 sur ℤ, l’égalité 2x − 1 = 0 ne convient pas, car le coefficient dominant n’est pas 1.
L’extension ambiante doit être nommée. Dire qu’un anneau est intégralement clos signifie ici « dans son corps des fractions ». Un élément entier situé dans une extension plus grande n’est donc pas un contre-exemple. Ainsi, √2 est entier sur ℤ, mais il n’appartient pas à ℚ et ne contredit pas le fait que ℤ est intégralement clos.
Pour aller plus loin
Le Corps des fractions précise l’espace ambiant dans lequel on recherche les éléments entiers éventuellement absents de l’anneau.
L’anneau de Dedekind présente une famille centrale d’anneaux intégralement clos utilisée en théorie algébrique des nombres.
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