Jacobson (radical de)

Dans l'anneau des entiers modulo 12, certains nombres restent enfermés dans tous les idéaux maximaux. Les deux idéaux maximaux sont les multiples de 2 et les multiples de 3. Leur partie commune contient seulement 0 et 6.

Cette partie commune est le radical de Jacobson. Elle rassemble ici les éléments qu'aucun passage à un quotient simple ne permet de distinguer de zéro. En retirant ce noyau, on obtient un anneau sans radical de Jacobson non nul.

Soit A un anneau commutatif possédant un élément unité. Le radical de Jacobson de A, noté J(A), est l'intersection de tous ses idéaux maximaux. Cette intersection est un idéal de A. Elle contient tout élément nilpotent, c'est-à-dire tout élément dont une puissance positive est nulle.

La définition et le critère d'inversibilité s'écrivent :Le symbole A^× désigne l'ensemble des éléments inversibles de A. Ainsi, un élément appartient au radical exactement lorsque toute tentative de former 1 − ba, avec b dans A, donne encore un inversible.

Un anneau dont le radical de Jacobson est nul est souvent dit semi-primitif ; l'expression « semi-simple au sens de Jacobson » est aussi employée dans la source. Si A est artinien et commutatif, J(A) coïncide avec le nilradical, formé des éléments nilpotents, et il est lui-même nilpotent. Pour un anneau associatif unitaire non commutatif, on intersecte plutôt tous les idéaux à gauche maximaux ; le résultat reste un idéal bilatère, mais un élément nilpotent isolé n'appartient pas nécessairement au radical.

On travaille dans l'anneau A = ℤ/12ℤ. Ses éléments sont les douze classes de 0 à 11. Les deux idéaux maximaux sont M₂ = {0, 2, 4, 6, 8, 10} et M₃ = {0, 3, 6, 9}.

1. Intersecter. Les seuls éléments présents dans M₂ et M₃ sont 0 et 6. On obtient donc J(A) = {0, 6}.

2. Vérifier la nilpotence. Dans A, le calcul 6² = 36 donne la classe 0 modulo 12. Les deux éléments du radical sont donc nilpotents.

3. Contrôler par les inversibles. Pour tout élément b de A, le produit 6b est pair. La classe 1 − 6b vaut donc 1 ou 7, selon la parité de b. Ces deux classes sont inversibles modulo 12.

4. Lire le quotient. Le quotient A/J(A) possède six éléments et s'identifie à ℤ/6ℤ. Son radical est nul. Le contrôle est refaisable directement : les idéaux maximaux de ℤ/6ℤ ont pour intersection {0}.

Pour simplifier l'étude d'un anneau artinien, on commence souvent par calculer J(A), puis on étudie le quotient A/J(A). Si le radical est non nul, le quotient élimine cette couche nilpotente ; si le radical est déjà nul, ce passage ne change rien.

Pour décider si un élément a appartient à J(A), l'intersection des idéaux maximaux est directe lorsque ceux-ci sont connus. Lorsqu'ils sont difficiles à lister, le critère « 1 − ba est inversible pour tout b » fournit une autre voie.

Pour reconnaître une structure semi-simple artinienne, on vérifie d'abord que le radical est nul. Le théorème de Wedderburn-Artin décrit alors l'anneau comme un produit fini d'anneaux de matrices sur des corps gauches. Dans le cadre commutatif, ces matrices sont de taille 1 et l'on obtient un produit fini de corps.

Nilradical. Dans un anneau commutatif, le nilradical est l'intersection des idéaux premiers, tandis que le radical de Jacobson intersecte les idéaux maximaux. Dans ℤ, le premier vaut {0}, mais le radical de Jacobson vaut aussi {0} ; l'égalité dans cet exemple ne confond pas les deux définitions.

Socle. Le socle additionne les sous-modules simples d'un module, alors que le radical de Jacobson repère ce que tous les quotients simples annulent. Pour le module ℤ/4ℤ sur lui-même, le socle et le radical sont tous deux {0, 2}, mais ils proviennent de constructions opposées.

Radical d'un idéal. Le radical d'un idéal I regroupe les éléments dont une puissance appartient à I. Le radical de Jacobson est attaché à l'anneau entier par ses idéaux maximaux. Pour I = (4) dans ℤ, le radical de I est (2), tandis que J(ℤ) = {0}.

Le cadre non commutatif change la définition. L'intersection des idéaux bilatères maximaux peut être trop grande. Il faut intersecter les idéaux à gauche maximaux, ou employer le critère d'inversibilité ; cette intersection est bien un idéal bilatère.

Nilpotent ne signifie pas toujours radical. Dans l'anneau des matrices 2 × 2 sur un corps, la matrice ayant un unique 1 au-dessus de la diagonale est nilpotente, alors que le radical de Jacobson de l'anneau est nul. L'inclusion de tous les éléments nilpotents exige notamment le cadre commutatif.

Radical nul ne suffit pas à la semi-simplicité artinienne. L'anneau ℤ a un radical de Jacobson nul, mais il n'est pas artinien. Il faut conserver l'hypothèse artinienne pour appliquer la conclusion structurelle de Wedderburn-Artin.

L'élément unité est requis ici. Le critère portant sur 1 − ba suppose un anneau unitaire. Pour un anneau sans unité, il faut annoncer une convention adaptée ou travailler dans une unitalisation, au lieu d'utiliser cette formule telle quelle.

La fiche Maximal (idéal) précise pourquoi les idéaux maximaux donnent des quotients simples et interviennent dans la définition du radical de Jacobson.