AlgèbreNotion · Glossaire
Radical d'un idéal
Le radical d'un idéal I d'un anneau commutatif A, noté racine de I ou sqrt(I), est l'ensemble des éléments a de A tels qu'une puissance de a est dans I. Le radical est toujours un idéal contenant I. Le théorème des zéros de Hilbert (Nullstellensatz) relie le radical d'un idéal de polynômes à l'idéal des polynômes s'annulant sur la variété algébrique définie par I. Un idéal est appelé idéal radical si il est égal à son propre radical.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître la condition qui place un élément dans le radical d'un idéal.
- Calculer le radical de l'idéal (x²) dans ℚ[x].
- Distinguer idéal radical et idéal premier.
- Situer précisément le rôle du Nullstellensatz et son hypothèse de corps algébriquement clos.
En clair
Dans l'anneau des polynômes, prenons l'idéal formé des multiples de x2. Le polynôme x n'en fait pas partie, mais son carré, x2, lui appartient. Le radical rassemble précisément les éléments qui finissent ainsi par entrer dans l'idéal lorsqu'on les élève à une puissance positive.
Dans cet exemple, tous les multiples de x appartiennent au radical. Passer de l'idéal engendré par x2 à celui engendré par x efface donc une multiplicité, sans changer l'endroit où les polynômes s'annulent.
Définition
Soit A un anneau commutatif et I un idéal de A. Le radical de I, noté , est l'ensemble des éléments a de A pour lesquels il existe un entier n au moins égal à 1 tel que an appartienne à I. Autrement dit :
Cet ensemble est lui-même un idéal et contient toujours I, puisque tout élément de I convient avec n égal à 1. Un idéal J est dit radical, ou radiciel, lorsque . Pour l'exemple conducteur dans A = ℚ[x], si I est l'idéal engendré par x2, alors son radical est l'idéal engendré par x. Les inclusions emboîtées rendent visible ce qui est ajouté au passage au radical.
Un exemple, pas à pas
On travaille dans l'anneau A = ℚ[x] des polynômes à coefficients rationnels. L'idéal I est engendré par x2 : il contient exactement les multiples de x2. On cherche son radical.
1. Le polynôme x n'appartient pas à I, car il n'est pas divisible par x2. En revanche, sa deuxième puissance est x2, qui appartient à I. Donc x appartient au radical de I.
2. Tout multiple de x appartient aussi au radical : si f = xg pour un polynôme g, alors f2 = x2g2, qui est un multiple de x2. Ainsi, l'idéal engendré par x est inclus dans le radical de I.
3. Réciproquement, si une puissance fn est divisible par x2, alors f est divisible par x. En effet, le terme constant de f doit être nul. Le radical de I est donc exactement l'idéal engendré par x : . Pour contrôler le résultat, on vérifie que (x) est radical : si fn est divisible par x, alors f l'est déjà.
En pratique
Pour résoudre une équation polynomiale, le radical permet d'ignorer les multiplicités algébriques. Les idéaux engendrés par x et par x2 imposent tous deux x = 0, même si le second garde une information supplémentaire sur la multiplicité.
Pour décider si un polynôme f appartient au radical d'un idéal I, on cherche une puissance positive de f qui appartient à I. Dans l'exemple I = (x2), tester la divisibilité de f par x donne un critère direct, car le radical est (x).
En géométrie algébrique, on passe au radical lorsque seule compte la figure formée par les zéros communs. On conserve plutôt l'idéal initial lorsque les multiplicités ou la structure algébrique plus fine sont pertinentes.
À ne pas confondre
Idéal premier. Un idéal premier P vérifie une condition sur les produits : si ab appartient à P, alors a ou b appartient à P. Tout idéal premier est radical, mais la réciproque est fausse. Dans ℚ[x, y], l'idéal engendré par xy est radical sans être premier, puisque xy lui appartient tandis que ni x ni y ne lui appartient.
Radical d'un anneau. Sans idéal précisé, le mot « radical » peut désigner d'autres objets, notamment le nilradical ou le radical de Jacobson d'un anneau. Le radical de l'idéal nul est le nilradical ; le radical de Jacobson répond à une autre définition et ne doit pas être substitué à .
Limites et pièges
La puissance n'est pas fixée à l'avance. L'exposant positif peut dépendre de l'élément considéré. Exiger la même puissance pour tous les éléments changerait la définition ; il faut seulement établir l'existence d'un entier n au moins égal à 1 pour chaque élément.
Le cas n = 1 compte. Il garantit que I est inclus dans son radical. Oublier ce cas ferait manquer les éléments déjà présents dans I, alors qu'aucune élévation supplémentaire n'est nécessaire.
Le radical perd de l'information. Dans ℚ[x], les idéaux (x) et (x2) ont le même radical, mais ils ne sont pas égaux. Remplacer systématiquement un idéal par son radical est donc incorrect lorsque les multiplicités ou la structure du quotient doivent être conservées.
Le lien avec les zéros a des hypothèses. La forme géométrique usuelle du Nullstellensatz concerne des polynômes sur un corps algébriquement clos. Sans cette hypothèse, les zéros pris seulement dans le corps de départ peuvent ne pas déterminer le radical ; il faut préciser le corps des points considéré.
Pour aller plus loin
Le Nullstellensatz précise, sur un corps algébriquement clos, pourquoi les polynômes nuls sur un ensemble algébrique forment le radical de l'idéal qui le définit.
La fiche anneau quotient éclaire une autre lecture : un idéal est radical exactement lorsque son anneau quotient ne contient aucun élément nilpotent non nul.
La notion d'anneau commutatif fournit enfin le cadre dans lequel les idéaux, les puissances et les quotients employés ici sont définis.
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