anneau commutatif

Prenons deux entiers, 6 et −4. Les multiplier dans un sens donne 6 × (−4) = −24. En inversant leur ordre, (−4) × 6 donne encore −24. Dans l'ensemble des entiers relatifs, ce constat vaut pour n'importe quelle paire : l'ordre des facteurs ne change jamais le produit. Cette liberté d'échanger les facteurs est la commutativité de la multiplication. Un anneau dont tous les éléments se comportent ainsi est commutatif.

Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations, appelées addition et multiplication. L'addition fait de A un groupe commutatif : elle est associative, possède un élément neutre 0 et chaque élément admet un opposé. La multiplication est associative et se distribue sur l'addition à gauche comme à droite.

L'anneau est commutatif lorsque sa multiplication l'est. Autrement dit, pour tous éléments a et b de A, le critère est $a\times b=b\times aa\backslash times\; b=b\backslash times\; a$. Il s'agit d'une propriété de toutes les paires d'éléments, et non d'un résultat observé sur quelques exemples. Les entiers relatifs ℤ, avec l'addition et la multiplication usuelles, satisfont ce critère.

Selon les conventions, la définition d'un anneau exige ou non un élément neutre pour la multiplication. Lorsqu'il est exigé, on parle d'anneau unitaire ; cette convention ne change pas le sens de « commutatif ». En revanche, les matrices carrées réelles d'ordre n ≥ 2 forment un anneau non commutatif, car certaines paires de matrices changent de produit quand on inverse leur ordre.

Un anneau commutatif réunit cinq éléments de structure. Un ensemble A fournit les objets manipulés. Une addition permet de les combiner, avec 0 comme élément neutre et un opposé pour chaque élément. Une multiplication associative fournit les produits. Les deux lois de distributivité relient la multiplication à l'addition. Enfin, la commutativité autorise l'échange des deux facteurs dans chaque produit.

Ces pièces dépendent les unes des autres : la distributivité décrit précisément l'action de la multiplication sur une somme, tandis que la commutativité concerne la multiplication déjà définie sur A. Un élément unité 1 peut aussi être requis par convention. La seule présence de deux opérations ne suffit donc pas : leurs propriétés et leurs relations définissent la structure. Ces données permettent notamment de simplifier des produits et de développer ou factoriser des expressions sans tenir compte de l'ordre des facteurs.

Dans l'anneau des entiers relatifs ℤ, choisissons les deux éléments 6 et −4. Le schéma associé rend visible le fait que les deux ordres de multiplication aboutissent au même entier.

Données.
Ensemble : ℤ.
Premier élément : 6.
Second élément : −4.
Opération étudiée : la multiplication usuelle des entiers.

Étape 1. Multiplions 6 par −4. Le produit vaut 6 × (−4) = −24.

Étape 2. Inversons les deux facteurs. Le produit vaut (−4) × 6 = −24.

Étape 3. Les résultats sont égaux : $6\times (-4)=(-4)\times 6=-246\backslash times(-4)=(-4)\backslash times6=-24$. Cette paire illustre la commutativité.

Contrôle. Le produit d'un entier positif et d'un entier négatif est négatif, et 6 × 4 = 24 : le résultat −24 est cohérent dans les deux sens. Ce calcul seul n'établit pas la propriété pour tout ℤ ; la règle générale des entiers assure que l'égalité vaut pour chaque paire.

Dans les calculs sur les entiers, on peut réordonner les facteurs pour regrouper ceux qui se multiplient mentalement plus vite. Avec 6, −4 et 5, on peut commencer par 6 × 5 ou par −4 × 5 : le produit final reste le même.

Lors d'une factorisation, la commutativité autorise à rapprocher un facteur commun placé à des endroits différents. Avant ce déplacement, il faut identifier l'anneau utilisé : dans ℤ, le geste est permis ; avec des matrices, il peut modifier le résultat.

Pour choisir entre un modèle commutatif et un modèle non commutatif, le critère observable est l'effet de l'ordre. Si échanger deux facteurs ne change jamais leur produit, le cadre commutatif convient. Si certaines compositions dépendent de l'ordre, comme pour les matrices carrées d'ordre au moins 2, il faut conserver l'ordre des facteurs.

Anneau et anneau commutatif. Tout anneau possède une addition et une multiplication soumises aux axiomes de la structure. Pour être commutatif, il doit en plus vérifier l'échange des facteurs pour tous ses produits. ℤ est commutatif ; l'anneau des matrices carrées réelles d'ordre 2 ne l'est pas.

Anneau commutatif et corps. Dans un corps, tout élément non nul possède un inverse multiplicatif. Cette condition n'est pas exigée dans un anneau commutatif. Ainsi, ℤ est un anneau commutatif, mais 2 n'y possède aucun inverse entier : ℤ n'est donc pas un corps.

Groupe commutatif et anneau commutatif. Un groupe ne comporte qu'une opération principale, alors qu'un anneau en articule deux. L'addition d'un anneau est déjà commutative ; l'adjectif « commutatif » appliqué à l'anneau porte spécifiquement sur sa multiplication.

Quelques essais ne constituent pas une preuve. Trouver plusieurs paires dont les produits commutent ne suffit pas à qualifier l'anneau. Il faut établir l'égalité pour toutes les paires. À l'inverse, une seule paire donnant deux produits différents suffit à prouver la non-commutativité.

Deux matrices peuvent commuter dans un anneau non commutatif. Par exemple, toute matrice commute avec elle-même. Le symptôme décisif n'est donc pas l'existence d'une paire qui commute, mais l'existence d'au moins une paire qui ne commute pas.

L'ordre 1 est le cas charnière. Les matrices réelles d'ordre 1 se comportent comme des nombres réels et leur multiplication est commutative. Dès l'ordre 2, on peut trouver deux matrices A et B telles que :

Pour les ordres supérieurs, ces matrices peuvent être placées dans un bloc carré plus grand. Il faut donc retenir le seuil n ≥ 2 donné par la définition source.

La présence d'une unité dépend de la convention. Certains auteurs incluent obligatoirement un élément neutre multiplicatif dans le mot « anneau », d'autres le précisent par « unitaire ». Il faut annoncer la convention employée au lieu de la déduire du seul adjectif « commutatif ».

La commutativité rend possibles des constructions qui transforment un anneau sans perdre le contrôle de ses produits. La Localisation (anneau) montre comment rendre certains éléments inversibles tout en conservant les relations algébriques nécessaires.