Radiciel (idéal)

Dans un polynôme, un facteur peut être répété : x² contient deux fois le facteur x. Or x et x² s’annulent exactement au même endroit, en 0. L’idéal engendré par x² garde cette répétition, tandis que son radical ne conserve que le facteur x.

Un idéal est radiciel, ou radical, lorsqu’il ne cache ainsi aucun élément derrière une puissance. Si une puissance appartient à l’idéal, sa base y appartient déjà.

Soit A un anneau commutatif et I un idéal de A. Le radical de I, noté √I, est l’ensemble des éléments a de A dont au moins une puissance entière positive appartient à I : $\sqrt{I}=\{a\in A\mid \mathrm{\exists }n\ge 1,a^n\in I\}\backslash sqrt\{I\}=\backslash \{a\backslash in\; A\backslash mid\; \backslash exists\; n\backslash geq\; 1,\backslash \; a^n\backslash in\; I\backslash \}$. L’idéal I est dit radiciel, ou radical, lorsque I = √I.

Le critère se lit sans calculer tout le radical : pour chaque élément a de A et chaque entier n ≥ 1, l’appartenance de aⁿ à I doit entraîner celle de a à I. Il suffit donc d’un seul contre-exemple, avec aⁿ dans I mais a hors de I, pour prouver que I n’est pas radiciel.

Tout idéal premier est radiciel : si aⁿ appartient à un idéal premier, l’un des facteurs a appartient à cet idéal. Tout idéal maximal est premier dans un anneau commutatif unitaire, donc il est lui aussi radiciel. Les réciproques sont fausses en général : un idéal radiciel peut n’être ni premier ni maximal.

On travaille dans l’anneau ℝ[x] des polynômes réels en une variable x.
Données : I est l’idéal engendré par x² ; l’élément testé est x ; la puissance testée est 2.

1. Par définition de I, tout multiple polynomial de x² appartient à I. En particulier, x² appartient à I.

2. Le polynôme x n’appartient pas à I, car aucun polynôme réel multiplié par x² ne peut donner le polynôme x. Son degré serait au moins 2, sauf pour le polynôme nul.

3. On a donc trouvé une puissance dans I dont la base reste hors de I. Le critère échoue : I n’est pas radiciel. Son radical est l’idéal engendré par x, ce que résume $\sqrt{(x^2)}=(x)\backslash sqrt\{(x^2)\}=(x)$.

Le contrôle géométrique donne le même ensemble de zéros pour x² et x : dans les deux cas, le seul zéro réel est 0. Le radical a supprimé la répétition du facteur sans déplacer ce zéro.

Pour étudier uniquement les zéros communs d’un système polynomial, on peut remplacer l’idéal de ses équations par son radical. Dans l’exemple, (x²) et (x) décrivent le même zéro 0 ; le second idéal ne conserve plus sa multiplicité.

Pour vérifier qu’un idéal n’est pas radiciel, le geste le plus direct consiste à chercher un élément absent dont une puissance est présente. Le couple x hors de (x²) et x² dans (x²) fournit ce certificat immédiatement.

Lorsque les multiplicités portent une information utile, remplacer I par √I n’est pas neutre. On conserve alors l’idéal initial ; on ne passe au radical que si l’on veut oublier les épaississements et retenir l’ensemble géométrique sous-jacent.

Idéal radiciel et radical d’un idéal. Le radical √I est un idéal construit à partir de n’importe quel idéal I. L’adjectif radiciel qualifie seulement les idéaux déjà égaux à cette construction. Ainsi, √(x²) = (x), mais (x²) n’est pas radiciel.

Idéal radiciel et idéal premier. Un idéal premier impose que, si un produit ab appartient à l’idéal, alors a ou b lui appartient. Un idéal radiciel ne teste que les puissances d’un même élément. Dans ℝ[x], l’idéal (x(x − 1)) est radiciel, mais il n’est pas premier puisque ni x ni x − 1 ne lui appartient alors que leur produit lui appartient.

Idéal radiciel et idéal maximal. Un idéal maximal ne peut être contenu strictement dans aucun idéal propre. Cette condition est plus forte : l’idéal radiciel (x(x − 1)) est strictement contenu dans l’idéal propre (x), donc il n’est pas maximal.

L’idéal nul dépend de l’anneau. Dans ℤ/4ℤ, la classe de 2 n’est pas nulle mais son carré l’est. L’idéal nul n’y est donc pas radiciel. Dans un anneau sans élément nilpotent non nul, appelé anneau réduit, l’idéal nul est radiciel.

L’idéal unité est un cas dégénéré. L’idéal A tout entier est toujours égal à son radical. Certaines conventions réservent toutefois les qualificatifs premier et maximal aux idéaux propres ; il ne faut donc pas déduire qu’un idéal radiciel est premier.

Prendre le radical perd de l’information. Les idéaux (x²) et (x) ont le même radical et le même ensemble de zéros, mais ils ne sont pas égaux. Le premier encode une répétition que le second efface.

Le critère porte sur une puissance positive. Il faut établir aⁿ ∈ I pour un entier n ≥ 1. Une simple ressemblance entre un générateur et un carré ne suffit pas ; il faut vérifier les appartenances dans l’anneau considéré.

Le radical d’un idéal détaille la construction √I appliquée à un idéal quelconque.

Le Nullstellensatz précise pourquoi, sur un corps algébriquement clos, les zéros polynomiaux conduisent aux idéaux radicaux.

La fiche anneau commutatif présente le cadre algébrique dans lequel sont formulés les idéaux et leurs radicaux.