Nullstellensatz

Imaginez plusieurs équations polynomiales dont on cherche les solutions communes. Le Nullstellensatz relie deux façons de décrire le problème : les points où toutes les équations s’annulent et les combinaisons algébriques de leurs polynômes.

Si aucune solution commune n’existe dans un corps algébriquement clos, ou dans la clôture algébrique du corps des coefficients, les polynômes peuvent se combiner pour donner 1. Dans l’autre sens, connaître tous les points communs permet de retrouver les équations, à une nuance près : leurs puissances superflues disparaissent.

Soit un corps algébriquement clos, noté k, et l’anneau des polynômes en n variables à coefficients dans k. Un idéal I de cet anneau est un sous-groupe additif de l’anneau, stable par multiplication par tout élément de l’anneau. L’ensemble V(I) est formé des points de kⁿ où tous les polynômes de I s’annulent. Réciproquement, pour un ensemble de points V, la notation I(V) désigne tous les polynômes qui s’annulent sur V.

La version faible affirme qu’un idéal propre possède au moins un zéro commun. De façon équivalente, si des polynômes f₁, …, f_r n’ont aucun zéro commun, il existe des polynômes g₁, …, g_r dont la combinaison vaut 1 :

La version forte précise ce que les zéros permettent de reconstruire. La racine de I, notée √I, contient les polynômes dont une puissance appartient à I. Elle vérifie : $I(V(I))=\sqrt{I}I(V(I))=\backslash sqrt\{I\}$. Ainsi, les zéros déterminent l’idéal radical associé, mais ils ne conservent pas les multiplicités encodées par des puissances.

On travaille dans l’anneau des polynômes à coefficients complexes en une variable x.
Données : le premier polynôme est f₁(x) = x ; le second est f₂(x) = 1 − x. On cherche un nombre complexe qui annule les deux.

1. L’équation f₁(x) = 0 impose x = 0.

2. L’équation f₂(x) = 0 impose x = 1. Un même nombre ne peut pas valoir simultanément 0 et 1 : le système n’a donc aucun zéro commun.

3. On additionne les deux polynômes avec les coefficients constants 1 et 1 : $1\cdot x+1\cdot (1-x)=11\backslash cdot\; x+1\backslash cdot(1-x)=1$. Cette identité certifie que 1 appartient à l’idéal engendré par f₁ et f₂.

Le contrôle se refait en développant le membre de gauche : x + 1 − x = 1. Sur une droite graduée, les zéros distincts 0 et 1 rendent aussi visible l’absence de point commun.

Pour étudier un système polynomial, on peut chercher directement ses solutions. Lorsque cette recherche, menée dans un corps algébriquement clos ou dans la clôture algébrique du corps des coefficients, ne donne aucun point dans ce corps, une identité combinant les polynômes pour obtenir 1 fournit une preuve algébrique de cette impossibilité.

Pour traduire des équations en géométrie, on forme leur idéal puis leur ensemble de zéros communs. Le Nullstellensatz devient préférable à une simple inspection lorsque l’on veut savoir exactement quelles équations sont imposées par cet ensemble de points.

Pour revenir des points aux équations, on ne reprend pas forcément l’idéal initial. Si une puissance d’un polynôme était seule présente, on passe à l’idéal radical : les points repèrent l’annulation, pas l’ordre avec lequel elle se produit.

Zéro d’un polynôme et zéro commun d’un système. Un zéro commun doit annuler chaque polynôme du système au même point. Dans l’exemple, 0 annule x et 1 annule 1 − x, mais aucun des deux nombres n’annule les deux polynômes.

Idéal et variété algébrique. Un idéal est un ensemble de polynômes fermé sous certaines opérations ; une variété algébrique est un ensemble de points où des polynômes s’annulent. Le Nullstellensatz les relie, sans les identifier : le passage des points aux équations renvoie un idéal radical.

Le corps doit être algébriquement clos. Sur les nombres réels, le polynôme x² + 1 n’a aucun zéro, alors que l’idéal qu’il engendre est propre. Pour appliquer l’énoncé, on cherche les zéros dans la clôture algébrique, ici les nombres complexes.

Les zéros oublient les puissances. Les idéaux engendrés par x et par x² ont le même ensemble de zéros, réduit à 0, mais ils ne sont pas égaux. Il faut reconstruire la racine de l’idéal : la racine de l’idéal engendré par x² est celui engendré par x.

Une annulation séparée ne suffit pas. Repérer un zéro pour chaque équation peut faire croire qu’un système est résolu. Il faut substituer un même point dans tous les polynômes ; les valeurs 0 et 1 de l’exemple appartiennent à deux solutions séparées, pas à une solution commune.

corps algébriquement clos — Pour approfondir l’hypothèse qui garantit que les racines nécessaires appartiennent au corps étudié.

radical d’un idéal — Pour préciser la structure algébrique que l’ensemble des zéros permet de retrouver.

schéma - géométrie algébrique - — Pour découvrir un cadre qui conserve davantage d’information que le seul ensemble des zéros.