AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
corps algébriquement clos
Un corps K est dit algébriquement clos si tout polynôme non constant à coefficients dans K admet au moins une racine dans K. Cette condition est équivalente au fait que tout polynôme de degré n à coefficients dans K est égal à un coefficient non nul multiplié par n facteurs linéaires. Le corps des nombres complexes ℂ est le prototype du corps algébriquement clos : c'est l'objet du théorème fondamental de l'algèbre. En revanche, le corps des réels ℝ n'est pas algébriquement clos, car le polynôme x² + 1 n'y possède aucune racine.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Tester la propriété à partir des racines d'un polynôme non constant.
- Relier l'existence des racines à la factorisation en facteurs linéaires.
- Refaire la factorisation de X² + 1 dans ℂ et constater son échec dans ℝ.
- Distinguer corps algébriquement clos, clôture algébrique et polynôme scindé.
En clair
Prenons l'équation x² + 1 = 0. Parmi les nombres réels, la recherche échoue : un carré ne peut pas valoir −1. Parmi les nombres complexes, deux solutions apparaissent, i et −i. Le polynôme se démonte alors entièrement en deux facteurs : (x − i)(x + i).
Un corps algébriquement clos est un univers de nombres où cette recherche ne reste jamais bloquée pour un polynôme non constant. Une première racine permet d'extraire un facteur linéaire, puis de recommencer jusqu'à la factorisation complète.
Définition
Un corps est un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication dans lequel les quatre opérations usuelles sont possibles, sauf la division par zéro. Soit K un corps. Il est algébriquement clos lorsque tout polynôme non constant dont les coefficients appartiennent à K possède au moins une racine appartenant elle aussi à K.
Cette propriété équivaut à une factorisation complète. Si P est un polynôme de degré n ≥ 1, il existe un coefficient dominant non nul a dans K et des éléments α₁, …, αₙ de K, répétés selon leur multiplicité, tels que :
L'existence d'une racine donne un premier facteur X − α ; le quotient reste un polynôme à coefficients dans K, ce qui permet de poursuivre par récurrence. Réciproquement, une telle factorisation fournit aussitôt des racines. Le théorème fondamental de l'algèbre affirme que ℂ est algébriquement clos. Le corps ℝ ne l'est pas, puisque x² + 1 n'a aucune racine réelle.
De quoi c'est fait
La notion assemble quatre éléments. Le corps K fournit les nombres et les opérations autorisées. L'anneau K[X] regroupe les polynômes en l'indéterminée X dont les coefficients sont dans K. Une racine est un élément α de K pour lequel l'évaluation P(α) vaut zéro. Enfin, la condition « tout polynôme non constant » impose cette existence sans exception.
Les coefficients et la racine doivent donc appartenir au même corps. Lorsqu'une racine α existe, le facteur X − α divise P ; les autres racines décomposent ensuite le quotient. Ces données suffisent à construire la factorisation en facteurs linéaires, avec les multiplicités. La manière d'écrire les éléments ou de représenter le corps ne fait pas partie de la définition.
Un exemple, pas à pas
Considérons le polynôme P(X) = X² + 1. Les données sont son degré 2, ses coefficients réels 1, 0 et 1, ainsi que le nombre complexe i défini par i² = −1.
1. Dans ℝ, pour tout nombre réel x, x² ≥ 0. Ainsi, x² + 1 ≥ 1 : P n'a aucune racine réelle.
2. Dans ℂ, P(i) = i² + 1 = 0 et P(−i) = (−i)² + 1 = 0. Les deux racines sont donc i et −i.
3. Chaque racine fournit un facteur linéaire. On obtient P(X) = (X − i)(X + i).
4. Le contrôle se refait en développant : (X − i)(X + i) = X² − i² = X² + 1. Le degré 2 correspond bien à deux facteurs, chacun compté une fois.
Le même polynôme fait ainsi apparaître le blocage dans ℝ et la factorisation complète dans ℂ.
En pratique
Pour résoudre une équation polynomiale, travailler dans un corps algébriquement clos garantit l'existence de toutes les racines, avec multiplicité. Si seules les solutions réelles sont recherchées, rester dans ℝ est préférable et les facteurs quadratiques sans racine réelle peuvent être conservés.
Pour factoriser un polynôme, la clôture algébrique remplace les facteurs irréductibles de degré supérieur à 1 par des facteurs linéaires. Dans l'exemple, X² + 1 reste irréductible sur ℝ, mais devient (X − i)(X + i) sur ℂ.
En algèbre linéaire, passer à un corps algébriquement clos assure que le polynôme caractéristique d'une matrice carrée à coefficients dans ce corps se scinde. Les valeurs propres appartiennent alors au corps choisi. Sur ℝ, une matrice de rotation peut au contraire n'avoir aucune valeur propre réelle ; on la complexifie si ces valeurs propres sont nécessaires.
À ne pas confondre
Un corps algébriquement clos est un corps qui possède déjà toutes les racines de ses polynômes. Une clôture algébrique de K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close. Ainsi, ℂ est algébriquement clos et constitue une clôture algébrique de ℝ.
Un polynôme scindé se factorise en facteurs linéaires dans un corps donné ; cette propriété concerne un polynôme particulier. L'expression algébriquement clos concerne le corps entier. X² − 1 est scindé sur ℝ, mais X² + 1 ne l'est pas : ℝ n'est donc pas algébriquement clos.
Une extension de corps ajoute des éléments à un corps, sans être nécessairement algébriquement close. Le test reste global : si un seul polynôme non constant à coefficients dans l'extension n'y a pas de racine, l'extension n'est pas algébriquement close.
Limites et pièges
La condition porte seulement sur les polynômes non constants. Un polynôme constant non nul n'a aucune racine, sans que cela contredise la clôture algébrique. Le polynôme nul est encore un autre cas : tout élément du corps est une racine.
Dire qu'un polynôme de degré n se décompose en n facteurs linéaires suppose de compter les multiplicités et de conserver le coefficient dominant. Par exemple, (X − 1)² a deux facteurs linéaires, mais une seule racine distincte.
Trouver des racines après avoir agrandi le corps ne prouve rien sur le corps de départ. Les racines i et −i de X² + 1 appartiennent à ℂ, pas à ℝ ; elles montrent précisément pourquoi ℝ échoue au test. Il faut toujours annoncer le corps dans lequel les coefficients et les racines sont cherchés.
La propriété ne dit pas que toute équation imaginable a une solution. Elle concerne les équations polynomiales en une variable à coefficients dans le corps. Pour d'autres types d'équations, il faut employer des critères adaptés.
Pour aller plus loin
La fiche Extension de corps précise comment un corps peut être agrandi pour accueillir de nouveaux éléments, première étape vers la construction d'une clôture algébrique.
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