théorème fondamental de l'algèbre

Une équation polynomiale peut sembler sans solution tant que l’on ne regarde que les nombres réels. Ainsi, z² + 1 = 0 n’a aucune solution réelle, mais elle en possède deux dans les nombres complexes : i et −i. Le théorème fondamental de l’algèbre affirme que cet élargissement suffit toujours : dès qu’un polynôme n’est pas constant, au moins une racine complexe existe. En poursuivant la factorisation et en comptant les répétitions, un polynôme de degré n livre exactement n racines complexes.

Le théorème fondamental de l’algèbre porte sur tout polynôme non constant dont les coefficients appartiennent au corps des nombres complexes ℂ. Une racine est un nombre complexe qui annule ce polynôme. Le résultat garantit l’existence d’au moins une telle racine.

Soit P un polynôme de degré n, où n est un entier au moins égal à 1. Il existe un coefficient dominant complexe a non nul et des nombres complexes α₁, …, α_n tels que : Une même racine apparaît plusieurs fois dans cette liste lorsque sa multiplicité est supérieure à 1. Ainsi, le nombre total de racines est n lorsqu’elles sont comptées avec multiplicité.

Ces formulations équivalentes disent que ℂ est algébriquement clos. Elles disent aussi que ℂ est une clôture algébrique de ℝ : tout nombre complexe est algébrique sur ℝ, et aucun agrandissement algébrique supplémentaire n’est nécessaire pour scinder les polynômes à coefficients complexes en facteurs du premier degré.

Si P est un polynôme non constant à coefficients complexes, alors il existe un nombre complexe α tel que P(α) = 0. Si le degré de P est l’entier n et si a ≠ 0 est son coefficient dominant, alors P se décompose sur ℂ sous la forme P(z) = a(z − α₁)…(z − αₙ), avec répétition des facteurs correspondant aux racines multiples. Le théorème assure cette existence et cette factorisation ; il ne fournit pas, à lui seul, une méthode de calcul des racines.

Deux conditions se vérifient avant d’appliquer l’énoncé. Le polynôme doit avoir un degré au moins égal à 1, et ses coefficients doivent être considérés dans ℂ. La conclusion est alors une existence de racines dans ℂ, puis une factorisation complète sur ce même corps.

Le polynôme constant P(z) = 3 ne convient pas : aucun nombre complexe ne l’annule, car sa valeur reste 3. Autre contre-cas de lecture, x² + 1 n’a pas de racine dans ℝ ; il faut élargir le domaine à ℂ, où les racines i et −i existent. Le théorème ne promet donc pas que les racines restent dans le corps réel.

Données. On étudie le polynôme P défini sur ℂ par P(z) = z³ − 1. Son degré vaut 3 et son coefficient dominant vaut 1.

1. La valeur z = 1 annule le polynôme, car P(1) = 1³ − 1 = 0. Le facteur z − 1 peut donc être isolé.

2. L’identité remarquable donne P(z) = (z − 1)(z² + z + 1). Il reste à résoudre le facteur quadratique.

3. Pour z² + z + 1, le discriminant vaut −3. Ses deux racines complexes sont $\alpha =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\backslash alpha=-\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}i$ et $\beta =-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\backslash beta=-\backslash frac\{1\}\{2\}-\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}i$.

4. La factorisation complète est : Les trois racines 1, α et β sont distinctes, donc chacune a pour multiplicité 1.

Contrôle. Le produit comporte bien trois facteurs du premier degré, autant que le degré de P. Chaque racine a un module égal à 1, et leurs positions dans le plan complexe forment un triangle équilatéral centré à l’origine. Cette disposition rend visible la symétrie des trois solutions de z³ = 1.

Pour vérifier qu’une recherche de racines est complète, on compare la somme des multiplicités au degré du polynôme. Si elle est plus petite, des racines complexes ou des répétitions restent à trouver.

Pour factoriser un polynôme, une racine déjà repérée fournit un facteur du premier degré. On divise alors le polynôme par ce facteur et on recommence sur le quotient. Le théorème garantit que le processus peut aboutir dans ℂ, mais une méthode numérique peut être préférable lorsque les racines exactes sont difficiles à exprimer.

Pour décider du domaine de calcul, on observe les racines recherchées. Si une équation réelle comme x² + 1 = 0 bloque dans ℝ, le passage à ℂ restaure l’existence d’une factorisation complète.

Avec le théorème des valeurs intermédiaires. Celui-ci concerne une fonction réelle continue et un changement de signe sur un intervalle. Pour x² + 1, aucun changement de signe réel n’apparaît, tandis que le théorème fondamental de l’algèbre fournit deux racines dans ℂ.

Avec une formule de résolution. Le théorème est un résultat d’existence et de factorisation, pas une recette donnant les racines par radicaux. Pour P(z) = z³ − 1, le calcul est explicite ; pour un polynôme général, l’existence des racines n’implique pas une expression élémentaire de chacune.

Degré zéro. Un polynôme constant non nul, comme P(z) = 3, n’a aucune racine. Le symptôme est l’absence de variable : il faut vérifier que le degré est au moins égal à 1 avant d’invoquer le théorème.

Comptage sans multiplicité. Le polynôme (z − 2)³ est de degré 3, mais il n’a qu’une valeur de racine, z = 2. Pour retrouver le degré, cette racine doit être comptée trois fois.

Restriction aux réels. Un polynôme réel peut ne posséder aucune racine réelle. Il ne faut pas conclure que le théorème échoue : x² + 1 se factorise en (x − i)(x + i) dès que le calcul se déroule dans ℂ.

Nature de la preuve. L’énoncé est algébrique, mais les démonstrations classiques ne se réduisent pas nécessairement à des manipulations algébriques. La difficulté historique venait précisément du besoin d’arguments analytiques ou topologiques adaptés ; l’existence d’une racine ne doit pas être supposée au cours de la preuve.

La fiche Factorisation détaille le passage d’un polynôme à un produit de facteurs, qui constitue l’une des formulations du théorème.

La fiche Multiplicité précise pourquoi une même racine doit parfois être comptée plusieurs fois pour retrouver le degré.

L’article Des nombres pas si complexes propose un prolongement sur le système numérique dans lequel toutes les racines de l’exemple prennent place.