Mahler (mesure de)

Imaginez les racines d’un polynôme placées dans le plan complexe, autour d’un cercle de rayon 1. La mesure de Mahler ignore la distance des racines situées dans ce cercle. Elle multiplie en revanche la distance de chaque racine extérieure, ainsi que la taille du coefficient dominant.

On obtient ainsi un nombre positif, sans unité, qui renseigne sur la taille arithmétique du polynôme. Une valeur égale à 1 constitue le cas charnière ; une valeur supérieure peut provenir d’une racine extérieure ou d’un coefficient dominant de module supérieur à 1.

Soit un polynôme non nul P de degré d, de coefficient dominant a_d, et de racines complexes z₁, …, z_d, comptées avec leur multiplicité. Sa mesure de Mahler est le nombre positif obtenu par la formule suivante.

Chaque racine de module inférieur ou égal à 1 fournit donc le facteur 1 ; une racine extérieure fournit son module. La valeur absolue du coefficient dominant garantit que la mesure reste positive, même si ce coefficient est négatif. Pour un polynôme à coefficients entiers, la même quantité s’obtient en faisant la moyenne de log |P| sur le cercle unité, puis en prenant son exponentielle. Cette identité relie la description par les racines à la formule intégrale.

La mesure de Mahler apparaît lorsqu’un polynôme à coefficients entiers est écrit sous forme développée ou décomposé par ses racines. Plusieurs indices la signalent : un coefficient dominant, des racines complexes, leurs modules, le cercle unité et un produit de facteurs max(1, |z_i|).

Le mot « mesure » ne désigne ici ni une longueur ni une unité physique. Il s’agit d’un invariant numérique du polynôme, utilisé en arithmétique et dans l’étude des nombres algébriques. La conjecture de Lehmer demande jusqu’où la mesure d’un entier algébrique non nul qui n’est pas une racine de l’unité peut s’approcher de 1 par valeurs supérieures.

La grandeur à lire est un produit sans unité. 1. Repérez le coefficient dominant et prenez sa valeur absolue. 2. Comptez toutes les racines avec leur multiplicité. 3. Pour chaque racine, retenez 1 si son module ne dépasse pas 1, sinon retenez son module. 4. Multipliez tous ces facteurs.

La convention décisive est la frontière |z| = 1 : une racine située exactement sur le cercle contribue par 1. Un dessin peut faire croire qu’une racine proche du cercle apporte presque sa distance dans tous les cas. Le bon réflexe consiste à appliquer max(1, |z|) : toute racine intérieure, même très proche du bord, contribue exactement par 1.

Prenons le polynôme P(x) = x² − 3x + 1. Il est monique : son coefficient dominant vaut 1.

Les données sont son degré 2 et ses deux racines réelles, notées α et β : $\alpha =(3+\sqrt{5})\mathrm{/}2\backslash alpha=(3+\backslash sqrt\{5\})/2$ et $\beta =(3-\sqrt{5})\mathrm{/}2\backslash beta=(3-\backslash sqrt\{5\})/2$. Leurs valeurs approchées sont α ≈ 2,618 et β ≈ 0,382.

1. La racine α est extérieure au cercle unité ; son facteur est donc α.
2. La racine β est intérieure au cercle unité ; son facteur est donc 1.
3. On multiplie ces facteurs par la valeur absolue du coefficient dominant, égale à 1.

Le résultat est sans unité. Pour le contrôler, on vérifie que αβ = 1 : les deux racines sont réciproques, mais seule la racine de module supérieur à 1 intervient avec sa distance.

Lorsque les racines d’un polynôme sont connues, la formule par produit est la voie directe : on compare chaque module à 1, puis on multiplie les contributions extérieures.

Lorsque les racines ne sont pas disponibles mais que les valeurs de P sur le cercle unité sont accessibles, la formulation intégrale offre une autre voie. Elle moyenne le logarithme de |P| avant l’exponentiation.

En théorie des nombres, on compare la mesure à 1 pour étudier la taille arithmétique d’un polynôme. Dans le cadre des polynômes minimaux moniques d’entiers algébriques non nuls qui ne sont pas des racines de l’unité, la question de Lehmer porte sur l’existence d’un écart uniforme au-dessus de 1.

Mesure de Mahler et mesure logarithmique de Mahler. La première est M(P), la seconde est son logarithme naturel, log M(P). Pour P(x) = x² − 3x + 1, la mesure vaut environ 2,618, tandis que sa mesure logarithmique vaut environ 0,962 : les deux valeurs ne sont donc pas interchangeables.

Mesure de Mahler et maximum des coefficients. Le maximum des valeurs absolues des coefficients se lit directement dans l’écriture développée. La mesure de Mahler dépend, elle, du coefficient dominant et des modules des racines. Pour le polynôme de l’exemple, le maximum des coefficients vaut 3, tandis que M(P) ≈ 2,618.

Racine sur la frontière. Si |z| = 1, le facteur max(1, |z|) vaut exactement 1. Il ne faut ni écarter la racine du décompte ni lui attribuer un facteur supérieur à 1 à cause d’un arrondi numérique.

Multiplicités oubliées. Une racine répétée contribue autant de fois que sa multiplicité. Le symptôme est un produit comportant moins de d facteurs pour un polynôme de degré d ; il faut rétablir chaque occurrence.

Signe du coefficient dominant. La formule exacte utilise |a_d|. Employer a_d sans valeur absolue pourrait produire un résultat négatif, incompatible avec l’exponentielle de l’intégrale.

Valeur non triviale. La conjecture de Lehmer ne demande pas si la mesure peut valoir 1 ; elle concerne les entiers algébriques non nuls qui ne sont pas des racines de l’unité et l’existence d’un écart uniforme entre leur mesure et 1. Cette question reste ouverte.

Le polynôme cyclotomique éclaire le cas charnière où les racines sont sur le cercle unité et ne font pas croître le produit.

La fiche Racine n-ième de l’unité précise la géométrie des nombres complexes de module 1 qui apparaissent dans ce cadre.