Déflation (méthode de)

Prenons un polynôme de degré 3 dont une racine est déjà connue. Le facteur correspondant peut être retiré, comme on défait une couche d'un produit. Il reste alors un polynôme de degré 2, plus simple à étudier.

La déflation réalise précisément ce retrait par la division synthétique de Horner. Elle ne devine pas les autres racines : elle réduit le problème, puis permet de recommencer sur le quotient.

Soit P un polynôme de degré n supérieur ou égal à 1, à coefficients réels ou complexes, et soit r une racine exacte de P. La déflation de P par r consiste à calculer le quotient Q, de degré n − 1, dans l'identité $P(x)=(x-r)Q(x)P(x)=(x-r)Q(x)$. Le facteur x − r est ainsi retiré sans développer une division longue.

La division synthétique de Horner calcule les coefficients de Q par récurrence à partir des coefficients de P et de la valeur r. Si r est seulement une approximation, le dernier nombre obtenu est le résidu P(r), et l'égalité correcte devient $P(x)=(x-r)Q(x)+P(r)P(x)=(x-r)Q(x)+P(r)$.

Une racine multiple peut être déflatée plusieurs fois, mais chaque passage doit être contrôlé. En calcul numérique, une erreur sur r modifie les coefficients du quotient et peut dégrader la recherche des racines suivantes.

Écrivons les coefficients du polynôme P, de degré n, sous la forme a_n, a_n−1, …, a₀. Pour déflater par le nombre r, on pose b_n−1 = a_n, puis on calcule successivement b_k−1 = a_k + r b_k, de k = n − 1 jusqu'à k = 1.

Les nombres b_n−1, …, b₀ sont les coefficients du quotient Q. Le contrôle final est $a_0+r{b}_0=P(r)a\_0+r\; b\_0=P(r)$ : il vaut zéro en arithmétique exacte lorsque r est une racine.

La méthode s'applique à un polynôme écrit par coefficients et à un nombre r déjà obtenu comme racine exacte ou approchée. Il faut conserver les coefficients nuls : oublier, par exemple, le coefficient de x dans un polynôme qui n'en contient pas décale toute la division synthétique.

Avant d'accepter le quotient, on évalue le résidu P(r) à la précision de calcul utilisée. Un résidu non négligeable signale que r n'est pas assez précis pour une déflation fiable. Dans ce cas, il faut d'abord raffiner la racine ou employer une méthode qui traite plusieurs racines simultanément, plutôt que prétendre avoir une factorisation exacte.

On considère P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 et la racine connue r = 2. Les données sont les coefficients 1, −6, 11, −6, dans cet ordre.

1. On recopie le coefficient dominant : b₂ = 1.
2. On calcule b₁ = −6 + 2 × 1 = −4.
3. On calcule b₀ = 11 + 2 × (−4) = 3.
4. On calcule le reste : −6 + 2 × 3 = 0.

Le quotient est donc Q(x) = x² − 4x + 3, et $P(x)=(x-2)(x^2-4x+3)P(x)=(x-2)(x^2-4x+3)$. Le reste nul contrôle que 2 est bien une racine. En développant le produit, on retrouve exactement les quatre coefficients de P.

Pour factoriser un polynôme dont une racine est connue, la déflation remplace une nouvelle recherche sur le degré initial par l'étude du quotient. Dans l'exemple, résoudre le second degré Q fait apparaître les racines restantes 1 et 3.

Dans un algorithme numérique qui cherche toutes les racines, on peut alterner approximation d'une racine, contrôle du résidu et déflation. Si les racines sont proches ou si le résidu demeure trop grand, une méthode simultanée ou un raffinement supplémentaire est préférable.

Pour un calcul exact à coefficients rationnels ou entiers, la division euclidienne offre un contrôle transparent du quotient et du reste. La forme synthétique de Horner est surtout plus compacte lorsque le diviseur est x − r.

La déflation n'est pas la recherche initiale d'une racine. Elle commence après l'obtention de r et construit un problème de degré inférieur. Dans l'exemple, connaître r = 2 autorise la déflation ; la méthode ne produit pas elle-même cette valeur.

Elle ne se confond pas non plus avec une factorisation complète. Une déflation retire un seul facteur x − r à la fois ; il reste encore à factoriser Q(x) = x² − 4x + 3 pour obtenir les facteurs x − 1 et x − 3.

Racine approchée. Si P(r) n'est pas nul, la division laisse précisément ce résidu. Il faut écrire P(x) = (x − r)Q(x) + P(r), puis comparer le résidu à la précision visée avant de poursuivre.

Erreurs cumulées. Après plusieurs déflations en virgule flottante, les coefficients successifs incorporent les erreurs des racines précédentes. Des racines proches ou mal conditionnées peuvent alors être fortement déplacées ; raffiner les racines sur le polynôme initial limite ce phénomène.

Multiplicité. Un premier reste nul ne prouve pas que r est une racine multiple. Il faut tester à nouveau r sur le quotient : dans l'exemple, Q(2) = −1, donc la racine 2 est simple et une seconde déflation par 2 échouerait.

Coefficient manquant. Dans x³ − 5x − 4, la liste correcte est 1, 0, −5, −4. Sans le zéro associé à x², les degrés se décalent et le quotient calculé ne peut pas vérifier l'identité de départ.

La méthode de Horner détaille le schéma qui évalue P(r) tout en produisant les coefficients du quotient.

La Division euclidienne replace le quotient et le reste dans le cadre général de la division des polynômes.

La Factorisation montre comment les déflations successives s'insèrent dans la décomposition complète d'un polynôme.