Horner William George

En 1819, William George Horner publie une manière économe de calculer la valeur d’un polynôme. Au lieu de calculer séparément chaque puissance, on part du premier coefficient, puis on répète deux gestes : multiplier par le nombre choisi et ajouter le coefficient suivant.

Ce mathématicien britannique, formé et enseignant à Bath avant d’enseigner à Bristol, ne se limite pas à l’algèbre. En 1834, il invente aussi le zootrope, qui crée une illusion de mouvement grâce à une succession rapide d’images.

William George Horner (1787–1837) est un mathématicien britannique connu pour un schéma d’évaluation des polynômes. Pour un polynôme dont les coefficients, du terme de plus haut degré au terme constant, sont notés a_n, a_n−1, …, a₀, et pour un nombre x, le calcul réécrit le polynôme sous une forme emboîtée.

La valeur cherchée est obtenue par la récurrence suivante, où b_n est d’abord le coefficient dominant et où chaque nouveau b_k dépend du précédent :Cette organisation remplace le calcul séparé des puissances par une suite de multiplications et d’additions. Un coefficient nul doit rester dans la liste afin de conserver le bon degré.

Horner publie cette méthode en 1819, mais la source signale des procédés analogues en Chine dès le XIII^e siècle, puis en Europe chez Isaac Newton, Ruffini en 1804 et Budan en 1807. Le schéma intervient aussi dans l’approximation numérique des racines. Horner a par ailleurs travaillé sur la résolution des équations algébriques et sur l’optique.

On veut évaluer le polynôme P défini par $P(x)=2x^3-6x^2+2x-1P(x)=2x^3-6x^2+2x-1$ au nombre x = 3. Les données sont donc les coefficients 2, −6, 2 et −1, dans cet ordre, ainsi que la valeur 3. On commence avec le coefficient dominant 2.

1. On multiplie 2 par 3, puis on ajoute −6 : 2 × 3 − 6 = 0.
2. On multiplie 0 par 3, puis on ajoute 2 : 0 × 3 + 2 = 2.
3. On multiplie 2 par 3, puis on ajoute −1 : 2 × 3 − 1 = 5.

Le schéma donne donc P(3) = 5. La chaîne illustrée conserve chaque résultat intermédiaire jusqu’à la valeur finale.

Un contrôle direct refait le calcul autrement : 3² = 9 et 3³ = 27, puis 2 × 27 − 6 × 9 + 2 × 3 − 1 = 54 − 54 + 6 − 1 = 5. Les deux voies donnent exactement la même valeur.

Pour calculer la valeur d’un polynôme développé en un point, le schéma de Horner est utile lorsque les puissances seraient nombreuses à évaluer séparément. Pour P(3), on lit les coefficients de gauche à droite et on alterne multiplication par 3 et addition.

Pour un polynôme de faible degré ou très peu fourni, une substitution directe peut rester plus lisible. Dès qu’un degré manque dans l’écriture, on inscrit toutefois son coefficient nul avant d’appliquer le schéma, sinon tous les calculs suivants se décalent.

Pour approcher une racine, le schéma fournit rapidement les valeurs nécessaires au procédé numérique choisi. Il ne choisit pas à lui seul le point de départ ni le critère d’arrêt : ces décisions appartiennent à la méthode d’approximation employée.

Évaluer n’est pas factoriser. Le schéma calcule P(a) pour une valeur a. Il ne produit un indice de factorisation que si le résultat est nul : dans ce cas, a est une racine et x − a est un facteur. Dans l’exemple, P(3) = 5 ; le calcul ne fournit donc pas le facteur x − 3.

Porter le nom de Horner ne signifie pas être sans antécédent. Horner publie sa méthode en 1819, tandis que la source mentionne des procédés analogues antérieurs en Chine ainsi que chez Newton, Ruffini et Budan. L’attribution du nom et la chronologie des idées répondent à deux questions différentes.

Degré manquant. Si le terme en x² manque dans un polynôme de degré 3, son coefficient vaut 0 et doit être conservé dans la chaîne. L’omettre se repère à un nombre de coefficients inférieur à quatre ; il faut alors rétablir le zéro.

Calcul approché. Avec des nombres décimaux représentés à précision finie, les multiplications et additions peuvent accumuler des arrondis. Une valeur affichée n’est exacte que si les données et les opérations le permettent ; sinon, il faut annoncer une approximation et contrôler la précision demandée.

Recherche d’une racine. Obtenir P(a) ne suffit pas à affirmer que a est une racine, sauf si le résultat est exactement nul. Pour une approximation numérique, il faut en plus un procédé de mise à jour et un critère d’arrêt ; le schéma de Horner n’en tient pas lieu.

Cas constant. Pour un polynôme de degré 0, il n’y a aucune étape à enchaîner : sa valeur est son unique coefficient. Le schéma reste cohérent, mais n’apporte alors aucun gain de calcul.

La méthode de Horner recentre l’étude sur le mécanisme de calcul et sa mise en œuvre. Elle prolonge naturellement le portrait du mathématicien par l’outil qui porte son nom.

La forme emboîtée permet aussi d’examiner le coût d’une évaluation et la propagation des arrondis. Pour les racines, elle doit être intégrée à une méthode numérique complète, avec choix des approximations et contrôle de l’arrêt.