Ruffini Paolo

En 1799, Paolo Ruffini publie un mémoire sur un problème qui résistait aux mathématiciens : trouver une formule générale par radicaux donnant les solutions de toute équation générale de degré 5 ou plus. Il soutient qu’une telle formule est impossible.

Son nom reste aussi attaché à un calcul très concret sur les polynômes. La méthode de Ruffini-Horner organise les multiplications et les additions pour évaluer un polynôme en une valeur donnée et aider à repérer certaines de ses racines.

Paolo Ruffini (1765-1822) est un médecin et mathématicien italien. Il étudie la philosophie, la médecine et les mathématiques à l’université de Modène, obtient ses licences en 1788, puis y devient professeur de mathématiques tout en pratiquant la médecine hospitalière. Les bouleversements politiques de la fin du XVIII^e et du début du XIX^e siècle interrompent temporairement ses fonctions officielles de professeur et de recteur. Il les recouvre après la chute de Napoléon.

Sa contribution mathématique majeure paraît en 1799 dans le mémoire Teoria generale delle equazioni in cui si dimostra impossibile la soluzione algebrica delle equazioni generali di grado superiore al quarto. Ruffini y démontre, en faisant appel à la théorie des groupes, l’impossibilité de résoudre par radicaux le polynôme général de degré 5 ou plus. Transmis à l’Académie des sciences de Paris, son travail ne reçoit pas de réponse malgré son insistance. Niels Abel le reconnaît et l’améliore en 1824 ; le résultat porte aujourd’hui le nom de théorème d’Abel-Ruffini.

Ruffini donne également son nom à la méthode de Ruffini-Horner, un algorithme qui calcule efficacement la valeur d’un polynôme et contribue à la recherche de ses racines. Sa carrière médicale s’achève en 1819 : il avait contracté le typhus en soignant des patients pendant l’épidémie de 1817.

On veut tester si le nombre 2 est une racine d’un polynôme nommé P. Données :
la valeur testée est 2 ;
les coefficients de P, du degré 3 au terme constant, sont 1, −6, 11 et −6.

1. La méthode de Ruffini-Horner abaisse d’abord le coefficient 1.

2. On multiplie successivement par 2, puis on ajoute le coefficient suivant : 1 × 2 − 6 = −4 ; −4 × 2 + 11 = 3 ; 3 × 2 − 6 = 0.

3. Le dernier résultat est P(2) = 0. Le nombre 2 est donc une racine, et le quotient par x − 2 a pour coefficients 1, −4 et 3.

4. Le contrôle consiste à développer (x − 2)(x² − 4x + 3) : on retrouve exactement x³ − 6x² + 11x − 6.

Pour calculer la valeur d’un polynôme en un nombre donné, Ruffini-Horner remplace une longue succession de puissances par des multiplications et des additions imbriquées. Une substitution directe reste possible pour un polynôme court ; la méthode devient plus lisible quand le degré augmente.

Pour tester une racine candidate, on observe le dernier résultat du calcul. S’il vaut zéro, la valeur testée est une racine et le même dispositif fournit les coefficients du quotient par le facteur correspondant. Sinon, le résultat est simplement la valeur du polynôme au point testé.

Pour étudier l’histoire de la résolution des équations, il faut distinguer ce calcul particulier du théorème d’Abel-Ruffini. Le calcul traite un polynôme choisi ; le théorème porte sur l’absence d’une formule algébrique générale à partir du degré 5.

Théorème d’Abel-Ruffini et méthode de Ruffini-Horner. Le premier concerne l’impossibilité d’une formule générale par radicaux pour les équations générales de degré 5 ou plus. La seconde effectue un calcul sur un polynôme précis. Tester P(2) relève de la méthode, pas du théorème.

Contribution de Ruffini et amélioration d’Abel. Ruffini publie sa démonstration en 1799. Abel la reconnaît et l’améliore en 1824. Ces deux étapes historiques ne sont donc ni une seule publication ni un résultat attribué à un seul auteur.

Le seuil porte sur la formule générale. Le cas charnière est le passage du degré 4 au degré 5. Le théorème exclut une formule générale par radicaux pour le polynôme général de degré 5 ou plus ; il ne dit pas que chaque équation particulière de ces degrés est insoluble. Il faut donc étudier séparément les formes qui se factorisent.

Un reste non nul n’est pas un échec du calcul. Dans Ruffini-Horner, le dernier nombre obtenu est la valeur du polynôme au nombre testé. S’il n’est pas nul, ce nombre testé n’est simplement pas une racine ; il faut choisir une autre valeur candidate ou employer une autre méthode.

L’absence de réponse n’est pas une réfutation. Le mémoire de Ruffini fut transmis à l’Académie des sciences de Paris sans recevoir de réponse malgré son insistance. La reconnaissance et l’amélioration par Abel en 1824 constituent une étape distincte de cette réception initiale.

Le prolongement naturel est le théorème d’Abel-Ruffini. Sa fiche permet d’approfondir la portée exacte du résultat associé au mémoire de Ruffini et à l’amélioration apportée par Abel.