Hermite Charles

En 1873, Charles Hermite prouve que le nombre e est transcendant : aucune équation polynomiale à coefficients entiers non tous nuls ne peut avoir e pour solution. Ce résultat marquant s'inscrit dans une œuvre bien plus large, de la théorie des nombres aux fonctions elliptiques.

Quatre repères situent son parcours : sa naissance en 1822, son élection à l'Académie des sciences en 1856, la preuve de 1873 et sa mort en 1901. Son nom reste attaché à des outils employés en algèbre et en analyse, notamment les matrices, l'interpolation et les polynômes d'Hermite.

Charles Hermite (1822-1901) est un mathématicien français majeur du XIXe siècle. Après des études secondaires à Nancy puis à Paris, ce fils d'ingénieur entre à l'École polytechnique. Il en démissionne rapidement en raison d'une malformation congénitale au pied, avant d'y revenir comme professeur. Il occupe aussi des chaires à l'université de Paris et à l'École normale supérieure. Élu à l'Académie des sciences en 1856, il est l'ami d'Augustin Cauchy et le beau-père d'Émile Picard, qui publie ses travaux après sa mort. Henri Poincaré et Jacques Hadamard comptent parmi ses élèves.

Sa correspondance avec Carl Jacobi sur les intégrales abéliennes et les fonctions elliptiques le fait d'abord connaître. Ses recherches portent ensuite sur les fonctions elliptiques et doublement périodiques, les équations différentielles, la théorie des nombres, les formes quadratiques et les polynômes orthogonaux. En 1873, il démontre la transcendance de e. Ce résultat inspire Ferdinand von Lindemann pour établir celle de π. Hermite résout aussi l'équation générale du cinquième degré à l'aide de fonctions elliptiques, sans la résoudre par radicaux.

Son héritage demeure dans les polynômes et les équations différentielles d'Hermite, ainsi que dans l'interpolation d'Hermite, qui généralise celle de Lagrange. Une matrice hermitienne est une matrice complexe égale à sa transposée conjuguée. Son nom qualifie aussi des formes quadratiques et des espaces vectoriels. Enfin, le théorème d'Hermite-Lindemann porte sur la transcendance des valeurs de l'exponentielle prises en des points algébriques non nuls.

Un objet portant le nom d'Hermite permet de vérifier concrètement son héritage. On considère la matrice complexe A suivante. Ses données sont les nombres réels 2 et 3 sur la diagonale, puis 1 + i et 1 − i de part et d'autre, où i est le nombre dont le carré vaut −1.

1. On transpose A : les deux termes situés hors de la diagonale échangent leur place.

2. On conjugue ensuite chaque nombre complexe : i devient −i, tandis que 2 et 3 restent inchangés.

3. La transposée conjuguée, notée A^*, retrouve exactement la matrice initiale.

4. Le contrôle se refait entrée par entrée : les termes diagonaux sont réels et les deux autres sont conjugués l'un de l'autre. La condition A^* = A est satisfaite ; A est donc hermitienne.

Dans un texte d'algèbre linéaire, l'adjectif « hermitien » signale une structure complexe liée à la conjugaison. Pour une matrice à coefficients seulement réels, le critère se ramène à la symétrie ; la transposition simple suffit alors au contrôle.

Pour reconstruire une fonction à partir de valeurs et de dérivées imposées, l'interpolation d'Hermite est la piste naturelle. Si seules des valeurs sont prescrites, l'interpolation de Lagrange est l'alternative plus directe.

Dans l'étude des équations du cinquième degré, les fonctions elliptiques changent le cadre de résolution. Elles ne remplacent pas une formule par radicaux : elles contournent précisément l'impossibilité établie dans ce cadre par Abel et Galois.

En histoire des mathématiques, l'année 1873 renvoie chez Hermite à la transcendance de e. Pour la transcendance de π, le nom à retenir dans la filiation indiquée est celui de Ferdinand von Lindemann.

Charles Hermite et un objet hermitien. Le premier est une personne ; le second est un objet mathématique portant son nom. Dans « matrice hermitienne », le critère décisif est l'égalité avec la transposée conjuguée.

Transcendant et irrationnel. Un nombre transcendant n'annule aucun polynôme non nul à coefficients entiers. Un irrationnel n'est simplement pas le quotient de deux entiers. La preuve de 1873 établit pour e la propriété la plus forte, la transcendance.

Interpolation d'Hermite et interpolation de Lagrange. La première peut imposer des valeurs et des dérivées ; la seconde impose des valeurs. La présence de dérivées prescrites tranche entre les deux cadres.

Dire qu'Hermite « résout le cinquième degré » ne signifie pas qu'il trouve une résolution générale par radicaux. Le symptôme du contresens est l'effacement d'Abel et de Galois ; il faut préciser que la solution d'Hermite emploie des fonctions elliptiques.

La preuve de la transcendance de e en 1873 ne constitue pas celle de π. Si les deux résultats sont attribués à Hermite, la filiation historique est déformée : le travail d'Hermite inspire celui de Ferdinand von Lindemann sur π.

Pour une matrice complexe, vérifier seulement la symétrie des positions ne suffit pas. Des termes hors diagonale identiques mais non réels signalent le piège ; il faut aussi appliquer la conjugaison complexe et contrôler l'égalité A^* = A.

Les notions portant le nom d'Hermite ne forment pas une définition unique. Polynômes, équations différentielles, interpolation, matrices, formes quadratiques et espaces vectoriels appartiennent à des contextes distincts ; il faut consulter le critère propre à chacun.

Le polynôme d'Hermite prolonge le portrait par une famille de polynômes orthogonaux directement attachée à son nom.

La matrice hermitienne approfondit le critère de transposée conjuguée mis en œuvre dans l'exemple.