théorème d'Hermite-Lindemann

Prenez un nombre aussi familier que 1 et placez-le en exposant de la fonction exponentielle : vous obtenez e. Le théorème affirme que ce résultat échappe à tous les nombres algébriques, ceux qui annulent un polynôme à coefficients entiers.

Ce passage est spectaculaire : tout exposant algébrique non nul produit ainsi un nombre transcendant. Appliqué avec précaution à l’identité d’Euler, le même principe établit aussi la transcendance de π.

Le théorème d’Hermite-Lindemann est un résultat de théorie des nombres transcendants. Un nombre est algébrique s’il est racine d’un polynôme non nul à coefficients entiers ; il est transcendant dans le cas contraire. Si le nombre algébrique a n’est pas nul, le théorème assure que son exponentielle e^a est transcendante. La condition a ≠ 0 est indispensable.

Le choix a = 1 donne la transcendance de e. Pour π, le raisonnement se fait par contradiction : si π était algébrique, le nombre iπ serait algébrique et non nul, tandis que l’identité e^iπ = −1 contredirait la conclusion du théorème. Hermite a démontré la transcendance de e en 1873 et Lindemann celle de π en 1882. Weierstrass a généralisé ce résultat en 1885 avec le théorème de Lindemann-Weierstrass ; le théorème de Gelfond-Schneider a apporté un autre prolongement en 1934.

Soit a un nombre algébrique complexe. Si a est non nul, alors son exponentielle est transcendante : $a\in \bar{\mathbb{Q}},a\mathrm{\ne }0⟹e^a\mathrm{\notin }\bar{\mathbb{Q}}a\; \backslash in\; \backslash overline\{\backslash mathbb\{Q\}\},\backslash \; a\; \backslash neq\; 0\; \backslash quad\; \backslash Longrightarrow\; \backslash quad\; e^a\; \backslash notin\; \backslash overline\{\backslash mathbb\{Q\}\}$. Cette implication vaut pour tout exposant réel ou complexe qui satisfait ces deux hypothèses. Autrement dit, aucune équation polynomiale non nulle à coefficients entiers ne peut avoir e^a pour racine.

Le théorème s’applique à un exposant a dont l’algébricité est établie et qui est différent de zéro. Il porte sur l’exponentielle complexe e^a et conclut précisément à sa transcendance. Les nombres réels algébriques sont donc couverts, tout comme les nombres complexes algébriques.

Pour a = 0, la conclusion échoue : e⁰ = 1 est algébrique. Si l’exposant n’est pas connu comme algébrique, le théorème ne donne aucun verdict ; il faut employer un autre résultat. Ainsi, dans la preuve concernant π, on suppose d’abord π algébrique afin de pouvoir appliquer le théorème à iπ, puis on obtient une contradiction.

Montrons que π est transcendant. Les données sont les suivantes : le théorème d’Hermite-Lindemann ; le nombre i, qui est algébrique car il vérifie i² + 1 = 0 ; et l’identité d’Euler e^iπ = −1.

1. Supposons, pour obtenir une contradiction, que π soit algébrique.
2. Le produit iπ est alors algébrique et non nul.
3. Le théorème impose donc que e^iπ soit transcendant.
4. Or l’identité d’Euler donne exactement e^iπ = −1, et −1 est algébrique.
5. La supposition de départ est impossible : π est transcendant.

Le contrôle consiste à repérer les deux conditions avant l’application : iπ doit être algébrique et non nul. La contradiction ne vient qu’ensuite, lorsque la même quantité devrait être à la fois transcendante et égale au nombre algébrique −1. Le schéma associé rend visible cette chaîne logique.

Pour établir la transcendance de e, on choisit l’exposant algébrique non nul 1. Le théorème donne immédiatement le verdict, sans rechercher un polynôme particulier.

Pour π, on combine le théorème avec l’identité d’Euler et un raisonnement par contradiction. Cette transcendance exclut la construction, à la règle et au compas, d’un carré ayant exactement la même aire qu’un cercle donné : c’est l’impossibilité de la quadrature du cercle.

Avant toute application, on contrôle la nature et la non-nullité de l’exposant. Si son algébricité n’est pas établie, ce théorème ne suffit pas et un résultat adapté au type d’expression étudié doit prendre le relais.

Nombre irrationnel et nombre transcendant. Un irrationnel peut encore être algébrique : √2 annule le polynôme x² − 2. Un transcendant, lui, n’annule aucun polynôme non nul à coefficients entiers.

Théorème d’Hermite-Lindemann et théorème de Lindemann-Weierstrass. Le premier suffit pour l’exponentielle d’un seul nombre algébrique non nul. Le second est une généralisation qui traite simultanément plusieurs exponentielles d’algébriques distincts.

Hermite-Lindemann et Gelfond-Schneider. Le premier porte sur e^a avec a algébrique non nul. Gelfond-Schneider concerne une puissance dont la base est algébrique, différente de 0 et de 1, et l’exposant algébrique irrationnel ; la forme de l’expression indique lequel employer.

L’exposant nul est exclu. À a = 0, on obtient e⁰ = 1, qui est algébrique. Il faut donc vérifier a ≠ 0 avant de conclure.

Un exposant non nul ne suffit pas. Si a est le logarithme népérien de 2, alors e^a = 2 est algébrique. L’hypothèse décisive est que a soit algébrique ; sans elle, le théorème reste muet.

Le cas iπ n’est pas une substitution directe. L’algébricité de π est précisément en question. Il faut la supposer provisoirement, appliquer le théorème à iπ, puis confronter la conclusion à e^iπ = −1.

Transcendant ne signifie pas seulement irrationnel. Prouver qu’un nombre n’est pas rationnel ne prouve pas sa transcendance. Il faut exclure toutes les équations polynomiales non nulles à coefficients entiers, pas seulement les équations de degré 1.

Le nombre transcendant précise la frontière entre nombres algébriques et transcendants. La quadrature du cercle expose la construction rendue impossible par la transcendance de π.

Le théorème de Lindemann-Weierstrass présente la généralisation à plusieurs exponentielles. L’article En route vers la transcendance replace ces résultats dans le développement de la théorie.