Histoire et cultureObjet géométrique · Glossaire
quadrature du cercle
La quadrature du cercle consiste à construire, à la règle non graduée et au compas, en un nombre fini d'étapes, un carré ayant exactement la même aire qu'un cercle donné. Elle est impossible dans ce cadre parce que π est transcendant, ce qui empêche de construire exactement la longueur nécessaire. Par extension, l'expression désigne un problème impossible à résoudre.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les instruments et l'exigence d'exactitude du problème antique.
- Relier l'aire du cercle au côté du carré par c = r√π.
- Comprendre le rôle de la transcendance de π dans l'impossibilité.
- Distinguer construction exacte, approximation et expression figurée.
En clair
Imaginez un cercle découpé dans du papier. Le défi consiste à tracer un carré qui recouvre exactement la même aire, en utilisant seulement une règle non graduée et un compas. On peut en dessiner une très bonne approximation, mais aucune suite finie des constructions autorisées ne donne le carré exact.
C'est cette exigence d'exactitude, et non la difficulté de dessiner un carré presque égal, qui fait de la quadrature du cercle un problème impossible.
Définition
La quadrature du cercle est un problème de construction géométrique. À partir d'un cercle donné, il demande d'obtenir en un nombre fini d'étapes un carré de même aire, avec une règle non graduée et un compas. La règle sert à tracer la droite passant par deux points déjà obtenus ; le compas sert à tracer un cercle dont le centre et le rayon sont déjà déterminés.
Si le rayon du cercle est noté r et le côté du carré c, l'égalité des aires impose , donc . Le problème revient ainsi à construire exactement une longueur égale au rayon multiplié par la racine carrée de π.
Lindemann a établi en 1882 que π est transcendant. Cette propriété exclut la longueur requise des constructions exactes à la règle et au compas, ce qui prouve l'impossibilité demandée. Des carrés d'aire aussi proche que souhaité restent possibles par approximation ; ils ne résolvent pas le problème antique au sens strict.
De quoi c'est fait
Le problème réunit quatre éléments nécessaires. Le cercle donné fixe le rayon et donc l'aire à conserver. La règle non graduée trace des droites à partir de points connus, sans mesurer une longueur. Le compas reporte une distance déjà obtenue et trace des cercles. Le carré recherché doit enfin avoir exactement la même aire que le cercle.
Le rayon détermine le côté requis du carré par le facteur √π. Les deux instruments déterminent, eux, quelles longueurs peuvent être produites en un nombre fini d'étapes. Changer la taille, l'orientation ou la position de la figure ne modifie pas le problème : seules comptent l'égalité exacte des aires et les constructions autorisées.
Un exemple, pas à pas
Prenons un cercle de rayon 5 cm. Les données sont donc le rayon de 5 cm, l'aire d'un disque égale à π fois le carré du rayon, et l'exigence d'un carré de même aire. La figure met en regard les deux formes à cette échelle.
1. Calculer l'aire du cercle : cm2.
2. Noter c le côté du carré et poser .
3. Prendre la racine carrée : cm.
4. Pour un tracé approché, utiliser cm.
2. Noter c le côté du carré et poser .
3. Prendre la racine carrée : cm.
4. Pour un tracé approché, utiliser cm.
Le contrôle consiste à élever la valeur exacte du côté au carré : cm2. L'égalité est exacte avec 5√π cm ; 8,862 cm ne fournit qu'une aire approchée. Construire exactement la première longueur avec les seuls instruments imposés est précisément l'étape impossible.
En pratique
Dans un exercice de géométrie, il faut d'abord regarder les instruments autorisés et le mot « exactement ». Si une valeur approchée est acceptée, un calcul numérique du côté convient ; si la règle et le compas sont imposés, la construction exacte est impossible.
Pour comparer un cercle et un carré en dessin technique, on calcule leurs dimensions avec la précision demandée. Cette approximation répond à un besoin de tracé, mais elle ne constitue pas une solution au problème grec.
Dans la langue courante, « chercher la quadrature du cercle » qualifie un problème impossible. Le contexte tranche : la présence d'un cercle, d'un carré et d'instruments renvoie à la géométrie ; leur absence signale généralement l'expression figurée.
À ne pas confondre
La duplication du cube demande de construire un cube dont le volume est double de celui d'un cube donné. Le critère est le volume, non l'aire : doubler une aire circulaire ne relève donc pas de ce problème.
La trisection de l'angle cherche à partager un angle donné en trois angles égaux avec la règle et le compas. Si la grandeur à partager est un angle plutôt qu'une aire, il s'agit de cette autre question antique.
Limites et pièges
Le verdict d'impossibilité vaut pour une construction exacte, en un nombre fini d'étapes, avec la règle non graduée et le compas. Si un autre instrument ou une approximation est admis, on a changé les règles du problème ; il faut alors annoncer ce nouveau cadre.
Une égalité affichée après arrondi peut masquer un écart. Dans l'exemple, 8,862 cm est une longueur approchée, tandis que 5√π cm est la valeur exacte. Il faut conserver le symbole ≈ devant la valeur décimale et contrôler l'aire à la précision choisie.
Le cas d'un cercle de rayon nul est dégénéré : son aire est nulle et le « carré » correspondant aurait un côté nul. Il ne représente pas la figure non dégénérée visée par le problème antique ; on travaille avec un rayon strictement positif.
Pour aller plus loin
Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) montre le nombre qui relie le rayon d'un cercle à son aire.
nombre transcendant précise la propriété de π qui intervient dans la preuve d'impossibilité.
duplication du cube présente un autre grand problème de construction hérité de l'Antiquité grecque.
trisection d'un angle complète le trio antique cité dans la définition de référence.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres