Probabilités et statistiquesMéthode · Glossaire
Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo)
La méthode de Monte-Carlo pour calculer pi repose sur le fait que la probabilité qu'un point tiré uniformément dans le carré [0,1] fois [0,1] tombe dans le quart de disque de rayon 1 est égale à pi divisé par 4. En tirant un grand nombre de points aléatoires et en comptant ceux qui tombent dans le quart de disque, on obtient une approximation de pi. Cette méthode illustre le lien entre probabilités et calcul numérique, mais sa convergence est lente (en racine carrée du nombre de tirages).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier l'aire d'un quart de disque à la probabilité π/4.
- Appliquer le critère x² + y² ≤ 1 à un nuage de 20 points.
- Retrouver l'estimation 3,2 à partir de 16 points intérieurs.
- Identifier les hypothèses d'uniformité et d'indépendance.
- Interpréter la convergence en 1/√N et les principales sources d'erreur.
En clair
Imaginez un carré de côté 1 contenant un quart de disque de rayon 1. On y lance des points au hasard, comme des grains très fins. Un point appartient au quart de disque lorsque sa distance au coin commun est au plus égale à 1.
Le quart de disque occupe la proportion π/4 du carré. Si 16 points sur 20 tombent dedans, cette proportion vaut 16/20 dans l'échantillon ; en la multipliant par 4, on obtient 3,2. Un nouveau tirage donnera probablement une autre valeur, mais les estimations tendent à se stabiliser lorsque le nombre de points augmente.
Définition
Le calcul de π par Monte-Carlo est une estimation probabiliste fondée sur un rapport d'aires. On tire N points indépendants et uniformes dans le carré [0,1] × [0,1]. Pour le point numéro i, ses coordonnées sont notées Xi et Yi. Il est compté dans le quart de disque lorsque Xi2 + Yi2 ≤ 1.
Si M désigne le nombre de points qui satisfont ce critère, la proportion M/N estime l'aire π/4. L'estimateur de π est donc : . Le symbole indicateur vaut 1 pour un point intérieur et 0 sinon.
Comme chaque point a une probabilité π/4 d'être compté, la moyenne de l'estimateur vaut exactement π. Son résultat observé reste aléatoire. Quand N augmente, l'erreur typique décroît proportionnellement à 1/√N : gagner un facteur 4 sur cette erreur demande environ 16 fois plus de tirages.
Le principe
Choisissez un nombre N de tirages. Pour chaque tirage, produisez deux coordonnées indépendantes et uniformes entre 0 et 1, puis comptez le point si la somme de leurs carrés ne dépasse pas 1. Après N points, notez M le nombre de points comptés et calculez 4M/N. Cette valeur est l'approximation de π ; le point d'arrêt est atteint lorsque les N tirages prévus ont été effectués.
Quand l'utiliser
La règle s'applique lorsque les couples de coordonnées sont tirés uniformément dans tout le carré et que les tirages sont indépendants. Le carré et le quart de disque doivent partager le même coin, et leur côté ou rayon doit avoir la même longueur. Il faut aussi conserver exactement le critère X2 + Y2 ≤ 1.
Si le générateur n'est pas uniforme, la proportion observée peut surestimer ou sous-estimer l'aire du quart de disque : elle la surestime lorsque la loi utilisée vérifie P(X2 + Y2 ≤ 1) > π/4. Multiplier simplement par 4 ne convient plus. Il faut alors rétablir un tirage uniforme ou employer une méthode pondérée qui tient compte de la loi effectivement utilisée. Des points placés sur une grille ne constituent pas non plus des tirages de Monte-Carlo indépendants.
Un exemple, pas à pas
Prenons N = 20 points dans le carré unité. Les données utiles sont le rayon 1, le critère x2 + y2 ≤ 1 et les 20 couples représentés dans la figure. Seize points satisfont le critère et quatre, colorés en rouge, sont à l'extérieur.
1. Le comptage donne M = 16 points dans le quart de disque.
2. La fréquence intérieure vaut M/N = 16/20 = 0,8.
3. Le quart de disque représentant un quart du disque entier, l'estimation devient 4 × 0,8 = 3,2. Ainsi, pour cet échantillon, π est estimé par 3,2.
4. Le contrôle se refait directement : 4M/N = 4 × 16/20 = 64/20 = 3,2. Cette valeur est à environ 0,058 de π, mais cet écart favorable sur seulement 20 points est aléatoire et ne mesure pas à lui seul la précision de la méthode.
En pratique
En classe ou dans un premier programme, cette simulation rend visible le passage d'une fréquence observée à une aire. On affiche les points, on recompte ceux qui vérifient le critère, puis on relance l'expérience pour constater que 3,2 n'est pas un résultat fixe.
Pour contrôler un générateur aléatoire, on peut suivre l'estimation au fil des tirages. Une dérive persistante ou une répartition visiblement inégale signale qu'il faut examiner le générateur plutôt qu'interpréter la valeur obtenue comme π.
Pour calculer de nombreuses décimales de π, cette méthode est mal adaptée à cause de sa convergence lente ; une formule numérique dédiée est préférable. Monte-Carlo garde surtout son intérêt pédagogique ici et illustre une stratégie qui devient utile lorsque le calcul direct d'une aire ou d'une intégrale est difficile.
À ne pas confondre
Une estimation aléatoire et une formule déterministe. Deux exécutions de Monte-Carlo avec N = 20 peuvent donner deux valeurs différentes. Une formule déterministe, appliquée avec les mêmes données et la même précision, redonne le même résultat. Le critère est donc la présence ou non de tirages aléatoires.
Monte-Carlo et placement régulier de points. Une grille répartit les points selon une règle fixe, tandis que la méthode décrite exige des couples indépendants et uniformes. Même si les deux procédés comparent des points à un quart de disque, seul le second produit l'estimateur probabiliste étudié ici.
Limites et pièges
Peu de tirages. Avec N = 20, un seul point fait varier l'estimation de 4/20 = 0,2. Le résultat peut donc sembler proche de π par chance. Il faut augmenter N et comparer plusieurs exécutions avant de juger la stabilité.
Convergence lente. L'écart typique est de l'ordre de 1/√N. Multiplier N par 100 ne divise donc l'erreur typique que par 10. Pour une haute précision, il faut préférer une méthode numérique spécialement conçue pour π.
Points sur l'arc. Employer < ou ≤ dans le critère ne change pas la probabilité théorique, car l'arc a une aire nulle. Dans une liste finie contenant volontairement un point sur l'arc, le comptage change toutefois d'une unité ; il faut annoncer et conserver la convention choisie.
Fausse uniformité. Des coordonnées uniformes prises séparément conviennent seulement si elles sont aussi indépendantes. Une dépendance entre x et y peut concentrer les points sur une zone du carré. Le bon réflexe est de contrôler le nuage ou la loi conjointe avant d'exploiter 4M/N.
Pour aller plus loin
La méthode de Monte-Carlo replace ce calcul de π dans la famille plus large des simulations fondées sur des tirages aléatoires.
La fiche variable aléatoire précise le langage probabiliste employé pour décrire le résultat d'un tirage et son indicateur.
La fiche intervalle de confiance prolonge l'estimation ponctuelle en montrant comment exprimer une incertitude à partir d'un échantillon.
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