quadratrice de Dinostrate

Imaginez deux mouvements lancés ensemble dans un carré. Un segment horizontal descend à vitesse constante, tandis qu'un autre segment pivote régulièrement autour d'un coin. À chaque instant, leur point de croisement laisse une marque. La suite de ces marques dessine la quadratrice de Dinostrate.

Cette synchronisation transforme une part d'angle en une même part de hauteur. Diviser une hauteur en trois permet alors de retrouver un angle trois fois plus petit, ce qui explique l'ancien nom de sectrice d'Hippias.

La quadratrice de Dinostrate est une courbe plane obtenue par deux mouvements uniformes et synchronisés dans un carré. Une droite horizontale descend du côté supérieur vers le côté inférieur. Au même rythme, une demi-droite tourne autour du coin inférieur gauche, de la verticale vers l'horizontale. Leur intersection décrit la courbe point par point.

Dans un repère dont l'origine est ce coin et pour un carré de côté a, l'abscisse est notée x et l'ordonnée y. Pour une hauteur strictement positive et inférieure ou égale à a, elles vérifient $x=y\cot \left(\frac{\pi y}{2a}\right)x=y\backslash cot\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\; y\}\{2a\}\backslash right)$. Hippias d'Élis introduit la courbe vers 430 avant J.-C. pour trisecter les angles. Dinostrate l'emploie vers 350 avant J.-C. dans la recherche de la quadrature du cercle.

À la hauteur nulle, l'écriture précédente n'est pas évaluée par substitution : sa limite donne l'abscisse $x_0=\frac{2a}{\pi }x\_0=\backslash frac\{2a\}\{\backslash pi\}$. Ce rapport fait apparaître π et motive l'usage de la courbe pour la quadrature. Il ne constitue pas une construction classique à la règle et au compas : la courbe doit déjà être produite par son mouvement synchronisé ou construite point par point. La transcendance de π, démontrée par Lindemann à la fin du XIXe siècle, exclut la quadrature classique du cercle.

Prenons un carré de côté a égal à 1 et un angle de 60° mesuré depuis l'horizontale. Le point Q où le rayon de 60° coupe la quadratrice encode cet angle par sa hauteur. La figure matérialise cette correspondance et le point P obtenu après division par trois.

Données. Le côté vaut 1 ; l'angle initial vaut 60°, soit π/3 radians ; le mouvement complet couvre 90°, soit π/2 radians ; l'objectif est un tiers de l'angle initial.

1. La hauteur de Q est proportionnelle à l'angle : $y_Q=\frac{2a}{\pi }\times \frac{\pi }{3}=\frac{2}{3}y\_Q=\backslash frac\{2a\}\{\backslash pi\}\backslash times\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}=\backslash frac\{2\}\{3\}$.

2. On partage cette hauteur en trois segments égaux : $y_P=\frac{y_Q}{3}=\frac{2}{9}y\_P=\backslash frac\{y\_Q\}\{3\}=\backslash frac\{2\}\{9\}$. L'horizontale de hauteur 2/9 rencontre la courbe en P.

3. Le rayon issu de l'origine et passant par P forme l'angle $\frac{\pi y_P}{2a}=\frac{\pi }{9}\backslash frac\{\backslash pi\; y\_P\}\{2a\}=\backslash frac\{\backslash pi\}\{9\}$, donc 20°. Son abscisse vaut $x_P=\frac{2}{9}\cot \left(\frac{\pi }{9}\right)\approx \mathrm{0,6106}x\_P=\backslash frac\{2\}\{9\}\backslash cot\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{9\}\backslash right)\backslash approx0\{,\}6106$.

Le résultat est un angle de 20°. Le contrôle est refaisable sans la courbe : trois fois 20° donne bien 60°, et le rapport des hauteurs, (2/9) divisé par (2/3), vaut exactement 1/3.

Pour tracer la courbe point par point, on partage le quart de tour et la hauteur du carré en un même nombre d'intervalles. On croise ensuite chaque position angulaire avec la position horizontale correspondante. Un tracé continu est préférable lorsque le mouvement synchronisé peut être réalisé.

Pour trisecter un angle situé dans le quart de tour, on repère d'abord sur la courbe la hauteur qui lui correspond. On divise cette hauteur par trois, puis on revient à la courbe et à un rayon issu de l'origine. Une trisectrice ordinaire suffit si elle est déjà connue ; la quadratrice fournit précisément la construction recherchée.

Pour étudier la quadrature du cercle, on observe l'intersection limite de la courbe avec le côté inférieur. Son abscisse vaut 2a/π. Cette lecture suppose toutefois que la quadratrice est disponible ; la règle et le compas seuls ne permettent pas de la remplacer pour obtenir π.

Quadratrice et trisectrice d'un angle. La quadratrice est une courbe complète, aussi appelée sectrice d'Hippias. Une trisectrice est une demi-droite qui partage un angle donné en trois angles égaux. Dans l'exemple de 60°, la courbe sert à construire la trisectrice de 20°, mais elle n'est pas cette demi-droite.

Quadratrice et fonction cotangente. La cotangente intervient dans l'équation cartésienne, mais la courbe n'est pas le graphe ordinaire de la fonction cotangente. Le facteur y et l'angle πy/(2a) lient ses deux coordonnées dans un carré.

Quadrature du cercle et calcul approché de π. La quadrature cherche une construction géométrique exacte d'un carré de même aire qu'un cercle donné. Une valeur décimale approchée de π permet seulement un résultat approché ; elle ne résout pas le problème classique exact.

Le point du bord inférieur. À y = 0, substituer directement dans y cot(πy/(2a)) conduit à une forme indéterminée, et non à zéro. Il faut prendre la limite : ${\lim }_{y\to 0^{+}}y\cot \left(\frac{\pi y}{2a}\right)=\frac{2a}{\pi }\backslash lim\_\{y\backslash to0^+\}y\backslash cot\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\; y\}\{2a\}\backslash right)=\backslash frac\{2a\}\{\backslash pi\}$.

La construction classique. Utiliser une quadratrice déjà tracée ajoute un outil que la règle et le compas ne fournissent pas. Le segment lié à π devient accessible avec cette courbe, mais cela ne contredit pas l'impossibilité classique établie à partir de la transcendance de π.

La synchronisation. La relation angle-hauteur exige deux vitesses uniformes et un même instant de départ. Si la droite descend irrégulièrement ou si la rotation n'est pas uniforme, partager la hauteur par trois ne partage plus nécessairement l'angle par trois. Il faut alors reconstruire les points avec des positions synchronisées.

Les conventions de repère. L'équation donnée correspond à une origine au coin inférieur gauche et à une rotation mesurée depuis l'horizontale. Une translation, une symétrie ou un autre sens de rotation change l'apparence de l'équation sans changer le principe de la courbe. Il faut d'abord identifier l'origine, le côté a et le sens choisi.

Trisection d'un angle précise le problème géométrique auquel la sectrice d'Hippias apporte une réponse lorsqu'elle est admise comme outil.

Nombre transcendant éclaire la propriété de π qui interdit la quadrature exacte du cercle avec la règle et le compas seuls.

Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) ouvre sur une autre manière d'approcher π, numérique et aléatoire, distincte de la construction géométrique antique.