classification grecque des constructions géométriques

Imaginez trois façons de construire une figure : avec une règle et un compas, avec une conique comme une parabole, ou avec une courbe plus spéciale comme une spirale. Les mathématiciens grecs rangeaient les problèmes selon l'outil ou la courbe nécessaire.

Un polygone régulier à quinze ou à dix-sept côtés appartient aux problèmes plans. La trisection générale d'un angle et la duplication du cube demandent des sections coniques. La quadrature du cercle va encore au-delà de ces deux catégories.

La classification grecque des constructions géométriques répartit les problèmes selon les moyens géométriques nécessaires pour les résoudre. Un problème plan se résout avec une règle et un compas ; ses objets fondamentaux sont donc les droites et les cercles. Un problème solide utilise une section conique, c'est-à-dire une parabole, une hyperbole ou une ellipse. Un problème de ligne, aussi appelé linéaire ou sur-solide, fait intervenir une courbe non conique ou un procédé spécifique : par exemple une spirale ou une quadratrice, qui sont transcendantes, ou une conchoïde ou une cissoïde, qui sont algébriques mais non coniques.

Cette distinction ne décrit pas la taille d'une figure, mais la classe d'outils ou de courbes indispensable à sa construction. Le polygone régulier à quinze côtés et celui à dix-sept côtés sont des exemples de problèmes plans. La trisection générale de l'angle et la duplication du cube sont des problèmes solides, car les Grecs les traitaient par intersection de coniques ; cette intersection permet aussi de résoudre des équations de degré trois.

La quadrature du cercle constitue une limite importante : liée à la transcendance de π, elle n'est ni un problème plan ni un problème solide. La trisection d'un angle particulier peut néanmoins être constructible ; l'impossibilité concerne le problème général, dont le caractère non plan a été démontré en 1837.

Prenons la construction d'un polygone régulier à dix-sept côtés. Les données sont le centre du polygone, un cercle circonscrit et le nombre de côtés, égal à 17.

On commence par fixer le cercle et son centre. Pour expliquer le principe, on écrit cos(2π/17) = (−1 + √17 + √(34 − 2√17) + 2√(17 + 3√17 − √(34 − 2√17) − 2√(34 + 2√17)))/16. Chaque racine carrée de cette expression peut être obtenue par moyenne proportionnelle, avec des droites et des cercles ; cette formule sert donc de certificat de constructibilité. Ce passage est un exemple de principe, et non un protocole complet : il ne détaille pas chaque construction auxiliaire ni le report graphique de l'abscisse normalisée. Une fois cette valeur obtenue, elle permet de placer sur le cercle le premier sommet à l'angle 2π/17, puis la première corde ; en la reportant au compas autour du cercle, on place les 17 sommets et on les relie par des segments.

Le classement porte sur le moyen de construction, non sur le nombre 17 lui-même : si les droites et les cercles suffisent, le problème est plan. Le résultat est donc un problème plan ; Gauss en a établi la constructibilité en 1796, avant sa publication en 1801.

Le contrôle consiste à vérifier que les 17 sommets sont régulièrement répartis sur le cercle et que chaque côté a la même longueur. Si une conique ou une courbe transcendante devient nécessaire, le classement ne serait plus celui d'un problème plan.

Pour classer un problème historique, on observe d'abord les instruments autorisés. Lorsque seules la règle et le compas interviennent, avec des droites et des cercles, on le range parmi les problèmes plans.

Lorsque la construction repose sur une parabole, une hyperbole ou une ellipse, on reconnaît un problème solide. Cette catégorie est celle à retenir pour la trisection générale de l'angle et la duplication du cube.

Lorsque le procédé emploie une spirale, une quadratrice, une conchoïde ou une cissoïde, on parle de problème de ligne, linéaire ou sur-solide. Le critère observable est alors la présence d'une courbe non conique — transcendante pour la spirale ou la quadratrice, algébrique pour la conchoïde ou la cissoïde — ou d'un procédé mécanique associé.

Un problème plan ne signifie pas qu'il est simple ou que la figure est plane au sens ordinaire. Le critère testable est l'usage exclusif de la règle et du compas, donc de droites et de cercles. Le polygone régulier à dix-sept côtés tranche ce cas : il est plan malgré la difficulté de sa constructibilité.

La trisection générale de l'angle ne doit pas être confondue avec la trisection d'un angle particulier. Le problème général est solide, tandis qu'un cas particulier peut parfois être constructible avec une règle et un compas ; c'est la nature de l'énoncé qui tranche.

Le mot « trisection » peut masquer une différence décisive. Pour un angle particulier, une construction plane peut exister ; pour le problème général, la construction ne peut pas être plane. Il faut donc préciser si l'on parle d'un cas isolé ou de toute la famille des angles.

La frontière entre problèmes plans, solides et de ligne porte sur les moyens nécessaires, pas sur le seul résultat obtenu. Une figure plane peut être produite par une construction solide ou de ligne. Le bon réflexe consiste à identifier la courbe ou l'outil indispensable au procédé.

La quadrature du cercle n'est pas simplement un problème solide plus difficile. Elle est liée à la transcendance de π et ne relève donc ni des problèmes plans ni des problèmes solides. Une méthode par coniques ne suffirait pas à la faire entrer dans la deuxième catégorie.

Pour prolonger cette classification, l'article Les triangles dont une trisectrice est médiane montre une situation où une trisectrice intervient dans une propriété précise de triangle. Cette lecture aide à distinguer l'étude d'un cas géométrique particulier du problème général de trisection de l'angle.