GéométrieNotion · Glossaire
quadratrice
Une courbe quadratrice est une courbe plane conçue pour résoudre la quadrature du cercle, c'est-à-dire pour construire géométriquement un segment de longueur π. Cette construction suppose la courbe déjà tracée, ce qui ne peut être réalisé à la règle et au compas. Depuis la fin du XIXe siècle, on sait que la quadrature du cercle est impossible à la règle et au compas, tout comme la trisection de l'angle et la duplication du cube — les trois grands problèmes de l'Antiquité grecque.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier ce qu’est une courbe quadratrice et le cadre dans lequel elle est utilisée.
- Suivre la construction de √π à partir d’un segment de longueur π.
- Vérifier l’égalité des aires du cercle unité et du carré construit.
- Distinguer construction exacte, tracé approché et impossibilité à la règle et au compas.
En clair
Imaginez un cercle de rayon 1 et cherchez un carré ayant exactement la même aire. Il faudrait construire un côté de longueur √π. Une quadratrice sert d’intermédiaire : son tracé permet d’obtenir géométriquement une longueur liée à π.
Le point essentiel est que cette courbe doit être disponible avant la construction. Si l’on exige seulement une règle non graduée et un compas, on ne peut pas la tracer exactement. Elle résout donc le problème dans un cadre plus large, sans contourner l’impossibilité classique.
Définition
Une quadratrice est une courbe plane auxiliaire dont on exploite un point ou une intersection pour construire un segment de longueur π, une fois l’unité fixée. Ce segment donne accès à la quadrature du cercle : pour un cercle de rayon 1, son aire vaut π, et il faut donc construire un carré de côté √π. Le passage de π à √π se fait ensuite par une construction de moyenne géométrique à la règle et au compas.
Le cadre autorisé est décisif. La courbe étant supposée déjà tracée, la construction ne relève plus des seules constructions à la règle non graduée et au compas. Dans ce cadre classique, la quadrature exacte du cercle est impossible depuis la fin du XIXe siècle. La même liste antique comprend la trisection d’un angle quelconque et la duplication du cube, elles aussi impossibles en général avec ces deux seuls instruments.
Un exemple, pas à pas
Partons d’un cercle de rayon 1 unité. La quadratrice est supposée tracée et fournit un segment de longueur π unités. On dispose donc de deux longueurs : 1 et π. Le schéma montre la construction qui transforme ces données en côté du carré recherché.
1. Sur une même droite, plaçons A, C puis B avec AC = 1 et CB = π. Le diamètre AB mesure alors exactement 1 + π.
2. Traçons le demi-cercle de diamètre AB, puis la perpendiculaire à AB passant par C. Elle rencontre le demi-cercle en D.
3. Le théorème de la hauteur dans le triangle rectangle donne :
Comme CD est une longueur positive, CD = √π.
4. Construisons un carré de côté CD. Son aire vaut CD2 = π unités carrées, exactement comme celle du cercle de rayon 1. Le contrôle consiste à recalculer les deux aires : π × 12 pour le cercle et (√π)2 pour le carré.
En pratique
Dans une construction théorique, la quadratrice est utile lorsque la courbe est explicitement admise comme outil. On repère alors l’intersection qui fournit π, puis on poursuit avec des constructions ordinaires. Si seuls la règle et le compas sont autorisés, cette démarche n’est pas recevable.
Pour analyser une solution annoncée de la quadrature du cercle, il faut regarder d’abord comment la courbe a été obtenue. Un tracé déjà fourni élargit les moyens de construction ; un tracé approché ne produit qu’une quadrature approchée.
Pour comparer les trois problèmes grecs, le bon geste est de séparer le but de la contrainte instrumentale. Avec d’autres courbes ou procédés, une construction peut devenir possible ; l’impossibilité porte sur la règle non graduée et le compas seuls.
À ne pas confondre
Quadratrice et quadrature du cercle. La quadratrice est une courbe utilisée comme outil ; la quadrature est le problème à résoudre. Un dessin qui montre seulement un cercle et un carré expose le but, pas la courbe auxiliaire.
Construction exacte et approximation numérique. Une valeur décimale de π permet de dessiner un carré presque égal au cercle. Une quadrature exacte exige au contraire une égalité démontrée ; mesurer les deux aires avec une précision finie ne suffit pas.
Limites et pièges
Courbe supposée disponible. Si une construction commence par « traçons la quadratrice » sans autoriser d’autre procédé, l’étape décisive est masquée. Il faut annoncer la courbe comme donnée ou préciser le moyen supplémentaire qui la produit.
Tracé matériel. Toute courbe dessinée possède une épaisseur et une précision finies. Une intersection lue dans la représentation donne une valeur approchée ; l’exactitude vient de la définition géométrique de la courbe et de la démonstration, non de la mesure.
Portée de l’impossibilité. Dire que la quadrature du cercle est impossible sans préciser les instruments est trompeur. L’impossibilité concerne la construction exacte à la règle non graduée et au compas ; une courbe auxiliaire admise change le cadre du problème.
Pour aller plus loin
La fiche quadrature du cercle précise le problème dont la quadratrice élargit les moyens de construction.
La fiche nombre transcendant situe la propriété de π liée à l’impossibilité classique.
La trisection d’un angle présente un deuxième grand problème grec et la contrainte qui le rend impossible en général.
La duplication du cube complète le trio antique par un autre problème de constructibilité exacte.
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