GéométrieNotion · Glossaire
Wantzel Pierre Laurent
Pierre Laurent Wantzel relie l'algèbre à la constructibilité : en partant d'une unité de longueur et de points de coordonnées rationnelles, une longueur est constructible si elle peut être obtenue en un nombre fini d'étapes à la règle non graduée et au compas. Avec cette convention, il montre que tout nombre constructible est algébrique et qu'avec ces seuls instruments, la duplication du cube est impossible et aucune méthode générale ne permet de trisecter un angle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Pierre Laurent Wantzel et son mémoire de 1837.
- Relier la duplication du cube à la longueur ∛2.
- Distinguer nombre algébrique et nombre constructible.
- Délimiter l'impossibilité de la trisection générale et celle de la quadrature du cercle.
En clair
En 1837, Pierre Laurent Wantzel étudie deux défis hérités de la Grèce antique. Avec une règle non graduée et un compas, peut-on toujours partager un angle en trois ou construire un cube de volume double ?
Sa réponse est négative : aucune recette valable dans tous les cas ne réalise ces deux constructions avec ces seuls instruments. Wantzel relie ce verdict à la nature des nombres que la règle et le compas peuvent produire. Il ferme ainsi deux problèmes restés ouverts depuis l'Antiquité.
Définition
Pierre Laurent Wantzel (1814-1848) est un mathématicien français dont les travaux relient algèbre et géométrie. Il étudie la constructibilité au sens d'Euclide : en prenant comme données initiales une unité de longueur et des points de coordonnées rationnelles, une longueur est constructible lorsqu'elle peut être obtenue en un nombre fini d'étapes avec une règle non graduée et un compas.
Avec cette convention de départ, Wantzel démontre qu'un nombre constructible est nécessairement algébrique, c'est-à-dire qu'il annule un polynôme non nul à coefficients entiers. Cette condition est nécessaire, mais elle ne suffit pas à rendre tout nombre algébrique constructible. En 1837, son mémoire Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre par la règle et le compas applique l'étude algébrique aux constructions géométriques.
Il établit l'impossibilité d'une construction générale pour la duplication du cube et pour la trisection de l'angle avec ces seuls instruments. L'impossibilité porte sur la règle et le compas, non sur toute méthode géométrique ou numérique. Ces deux résultats closent deux des trois grands problèmes grecs. Le troisième, la quadrature du cercle, reçoit une preuve d'impossibilité distincte en 1882, lorsque Lindemann démontre la transcendance de π.
Un exemple, pas à pas
Prenons le problème de la duplication du cube. Les données sont un cube initial de côté 1 et de volume 1, une règle non graduée et un compas. Le but est de construire un second cube de volume 2. La figure met en regard ces deux cubes et leurs côtés.
1. Appelons x la longueur du côté recherché. Le volume d'un cube étant le cube de son côté, la condition à satisfaire est :
2. La longueur positive recherchée est donc x = ∛2, soit environ 1,259 921. Elle est algébrique puisqu'elle annule le polynôme x3 − 2.
3. Le contrôle numérique donne 1,259 9213 ≈ 2. Le calcul fournit bien la longueur voulue, mais Wantzel montre qu'elle ne peut pas être obtenue par une construction à la règle et au compas. Être solution d'une équation polynomiale ne suffit donc pas ici à garantir la constructibilité.
En pratique
Face à une construction géométrique annoncée comme impossible, on commence par vérifier les instruments autorisés. Le verdict de Wantzel concerne la règle non graduée et le compas ; une autre méthode peut produire une approximation ou employer des moyens supplémentaires.
Pour dupliquer un cube donné, on traduit d'abord le volume double en une longueur : le nouveau côté doit être l'ancien côté multiplié par ∛2. Le calcul donne une valeur numérique, tandis que la question de constructibilité demande si cette longueur résulte des opérations permises.
Pour une trisection, on distingue un angle particulier du problème général. Certains angles se partagent en trois à la règle et au compas, mais Wantzel exclut une procédure qui fonctionnerait pour tout angle.
À ne pas confondre
Nombre algébrique et nombre constructible. Un nombre algébrique annule un polynôme non nul à coefficients entiers. Dans la convention standard où les données initiales sont une unité de longueur et des points de coordonnées rationnelles, un nombre constructible doit en plus être réalisable par les opérations permises à la règle et au compas. Le nombre ∛2 tranche : il est algébrique, mais il n'est pas constructible avec ces instruments.
Duplication du cube et quadrature du cercle. La première cherche le côté d'un cube de volume double ; la seconde cherche un carré de même aire qu'un cercle donné. Wantzel règle la première en 1837. La seconde exige le résultat distinct obtenu par Lindemann en 1882 sur la transcendance de π.
Limites et pièges
Impossible ne signifie pas introuvable. Pour le cube de côté 1, la longueur ∛2 se calcule et s'approche numériquement par 1,259 921. Le blocage concerne sa construction exacte avec la règle non graduée et le compas. Il faut annoncer une approximation lorsqu'on utilise la valeur décimale.
La trisection n'échoue pas pour chaque angle. Un angle droit de 90° peut être partagé en trois angles de 30°. Le résultat de Wantzel exclut une méthode à la règle et au compas valable pour un angle arbitraire, pas toutes les trisections particulières.
L'algébricité n'est qu'un filtre nécessaire. Conclure qu'une longueur est constructible dès qu'elle est algébrique inverse le raisonnement. Il faut appliquer un critère de constructibilité plus fort ; l'exemple ∛2 révèle précisément ce piège.
Les trois problèmes grecs n'ont pas la même preuve. Les résultats de 1837 portent sur la duplication du cube et la trisection de l'angle. Pour la quadrature du cercle, il faut se tourner vers la transcendance de π démontrée par Lindemann en 1882.
Pour aller plus loin
constructibilité. Cette entrée approfondit le critère qui relie les constructions à la règle et au compas aux propriétés algébriques des longueurs.
quadrature du cercle. Elle présente le troisième grand problème grec et la raison distincte de son impossibilité.
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