GéométrieNotion · Glossaire
constructibilité
La constructibilité concerne les figures géométriques et les nombres. Une figure est constructible si elle s’obtient en un nombre fini d’étapes à la règle non graduée et au compas ; un réel l’est si sa valeur absolue est, à partir d’un segment unité, la longueur d’un segment ainsi construit. Algébriquement, ces réels sont exactement ceux qui appartiennent à une tour d’extensions quadratiques de ℚ, critère qui permet notamment de prouver certaines impossibilités de construction.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer une construction exacte d'une approximation numérique.
- Construire √2 à partir d'un segment unité.
- Relier les tracés géométriques aux extensions quadratiques.
- Formuler correctement les impossibilités classiques.
En clair
Imaginez un segment choisi comme unité, une règle sans graduations et un compas. Avec ces seuls instruments, vous pouvez tracer des droites, des cercles et leurs points d'intersection. Une figure est constructible si une suite finie de tels gestes suffit à l'obtenir exactement. Une longueur l'est aussi lorsqu'elle apparaît dans cette construction. Ainsi, la diagonale d'un carré de côté 1 représente le nombre √2, même si ce nombre n'est pas rationnel.
Définition
Dans le cadre euclidien classique, une construction à la règle et au compas part de points donnés. À chaque étape, on trace une droite passant par deux points déjà obtenus, ou un cercle dont le centre et le rayon sont déjà déterminés. Les nouveaux points sont des intersections de ces droites et cercles. Une figure est constructible lorsque cette procédure s'achève après un nombre fini d'étapes. La règle est non graduée : elle sert à tracer une droite, pas à reporter une mesure.
Après avoir fixé un segment de longueur 1, un nombre réel est constructible lorsqu'une longueur égale à sa valeur absolue peut être obtenue ainsi ; le signe se code sur une droite orientée. Du point de vue algébrique, ces nombres appartiennent à un corps obtenu depuis les rationnels ℚ par une succession finie d'extensions de degré 2, autrement dit par des opérations arithmétiques et des extractions successives de racines carrées.
Si un nombre constructible est algébrique sur ℚ, son degré est une puissance de 2. Cette condition est nécessaire, mais elle ne suffit pas à elle seule : avoir un degré égal à une puissance de 2 ne garantit pas l'existence d'une tour d'extensions quadratiques. Le critère complet est bien l'appartenance à une telle tour. Cette distinction explique pourquoi l'algèbre peut établir qu'une construction géométrique demandée est impossible.
Un exemple, pas à pas
On veut construire exactement la longueur √2. Les données sont un segment AB de longueur 1, une règle non graduée et un compas.
1. Construisez la perpendiculaire à AB passant par B : tracez la droite AB, puis le cercle de centre B passant par A, qui recoupe cette droite en D ; tracez les cercles de centres A et D et de rayon AD, qui se coupent en E et F ; la droite EF est la perpendiculaire cherchée.
2. Avec le compas ouvert sur AB, placez sur cette perpendiculaire le point C tel que BC = 1.
3. Reliez A à C. Le triangle ABC est rectangle en B et ses deux côtés perpendiculaires mesurent 1.
2. Avec le compas ouvert sur AB, placez sur cette perpendiculaire le point C tel que BC = 1.
3. Reliez A à C. Le triangle ABC est rectangle en B et ses deux côtés perpendiculaires mesurent 1.
Le théorème de Pythagore donne le carré de la longueur AC :
Comme une longueur est positive, on obtient exactement AC = √2.
La construction fournit donc une longueur irrationnelle en un nombre fini d'étapes autorisées. Le triangle unité rend visibles les deux longueurs données et la diagonale obtenue. Pour contrôler le résultat, élevez AC au carré : la valeur doit être exactement 2.
En pratique
Pour construire une longueur exacte, on cherche à la décomposer en opérations arithmétiques et en racines carrées à partir de l'unité. Cette démarche est préférable à une mesure décimale lorsque le tracé doit être démontré exact.
Pour tester un problème classique, on traduit les intersections de droites et de cercles en extensions quadratiques. Si la longueur recherchée a un degré qui n'est pas une puissance de 2, aucune suite de gestes autorisés ne peut la produire. Un degré puissance de 2 ne suffit toutefois pas : il faut encore vérifier que la longueur appartient à une tour d'extensions quadratiques.
Un logiciel ou une règle graduée peut fournir une bonne approximation de √2. La règle et le compas sont préférés lorsque la question porte sur la constructibilité, car ils produisent la longueur exacte sans faire dépendre le résultat d'une précision de lecture.
À ne pas confondre
Nombre constructible et nombre rationnel. Tout nombre rationnel est constructible, mais la réciproque est fausse. La diagonale du carré unité tranche : √2 est irrationnel et pourtant constructible.
Construction exacte et approximation numérique. Une valeur décimale très précise ne constitue pas une construction à la règle et au compas. Le critère testable est l'existence d'une suite finie de tracés autorisés ; afficher 1,414 pour √2 ne fournit qu'une approximation.
Limites et pièges
Le degré ne suffit pas. Le degré sur ℚ d'un nombre constructible est une puissance de 2, mais la réciproque n'est pas automatique. Il faut vérifier l'appartenance à une tour d'extensions quadratiques, et non s'arrêter à la seule valeur du degré.
La trisection ne concerne pas tous les angles de la même manière. Certains angles particuliers se partagent en trois à la règle et au compas. L'impossibilité classique signifie qu'il n'existe pas de construction valable pour un angle arbitraire.
Les trois impossibilités classiques dépendent des instruments imposés. Avec la seule règle non graduée et le compas, on ne peut pas, en général, dupliquer le cube, trisecter un angle arbitraire ni construire un carré de même aire qu'un cercle. Autoriser d'autres instruments change le problème et ne réfute pas ces impossibilités.
Pour aller plus loin
La quadrature du cercle montre comment une question géométrique exacte devient un problème de constructibilité, puis une preuve d'impossibilité.
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