Nicomède d'Alexandrie

Imaginez un cercle et un triangle équilatéral posé sur son bord. Pour obtenir un polygone régulier à neuf côtés, il faut partager le tour du cercle en neuf angles centraux égaux. Chacun mesure 40°, car 360° répartis en neuf parts donnent 40° par part.

La difficulté antique était de construire cette division avec une règle et un compas. Nicomède aurait étudié une courbe, la conchoïde de Nicomède, qui permet de ramener le problème à la trisection d'un angle de 120°. Cette courbe est aussi liée à la duplication du cube.

Nicomède d'Alexandrie est un mathématicien grec connu par des témoignages indirects. Son travail est associé à la géométrie des constructions et à une courbe appelée conchoïde de Nicomède, ou trisectrice de Nicomède. Il s'agit d'une conchoïde de droite, c'est-à-dire une courbe construite à partir d'une droite de référence, d'un point fixe et d'une longueur prescrite selon le procédé propre aux conchoïdes.

L'application historique mentionnée ici est la construction d'un polygone régulier à neuf côtés à l'aide de la conchoïde comme courbe auxiliaire, et non à la règle et au compas seuls, en partant d'un triangle équilatéral inscrit dans un cercle. Un polygone régulier à neuf côtés possède neuf angles centraux égaux ; le tour complet vaut 360°, donc chaque angle central vaut exactement 40°. Le problème revient ainsi à partager un angle de 120° en trois angles égaux, chacun de 40°. La conchoïde de Nicomède a été étudiée pour cette trisection et pour la duplication du cube.

La propriété historique de cette courbe ne signifie pas que les trois grands problèmes de l'Antiquité soient constructibles à la règle et au compas. Wantzel a établi en 1837 l'impossibilité de la trisection générale de l'angle et de la duplication du cube avec ces seuls instruments ; Lindemann a établi en 1882 l'impossibilité de la quadrature du cercle.

Prenons le cercle dans lequel est inscrit le triangle équilatéral évoqué par la source, et cherchons la division régulière correspondant à neuf côtés. Les données sont les suivantes : le tour du cercle mesure 360° ; l'angle étudié mesure 120° ; le polygone visé possède 9 côtés.

Première étape : le tour complet est partagé en neuf angles centraux égaux. Deuxième étape : le calcul donne 360° ÷ 9 = 40°. Troisième étape : l'angle de 120° est partagé en trois parts égales, et 120° ÷ 3 = 40°. Les deux calculs conduisent donc au même angle central.

Le contrôle consiste à additionner neuf fois 40° : 9 × 40° = 360°. On retrouve bien un tour complet, ce qui vérifie la valeur exacte de l'angle nécessaire pour le polygone régulier à neuf côtés. La conchoïde de Nicomède intervient dans la recherche géométrique de cette trisection, sans transformer la règle et le compas en instruments capables de résoudre universellement ce problème.

Pour reconnaître le problème étudié, commencez par identifier le nombre de côtés recherché et le cercle de référence. Pour neuf côtés, le partage attendu est celui du tour complet en neuf angles centraux de 40°.

Lorsque l'angle de départ est 120°, le geste mathématique est une trisection : trois parts égales doivent produire trois angles de 40°. Si une construction exacte à la règle et au compas est exigée, il faut distinguer ce problème particulier d'une simple mesure au rapporteur.

Pour étudier la méthode historique associée à Nicomède, la conchoïde de Nicomède est l'objet pertinent. Elle constitue l'alternative géométrique étudiée pour la trisection et la duplication du cube, tandis que la mesure numérique ne fait que vérifier les angles obtenus.

La trisection d'un angle et la division d'un cercle en neuf parts égales sont liées ici, mais elles ne désignent pas exactement la même opération. La première partage un angle donné en trois angles égaux ; la seconde répartit un tour complet selon le nombre de côtés. Le cas de neuf côtés les relie parce que 360° ÷ 9 = 40° et 120° ÷ 3 = 40°.

Il ne faut pas confondre la conchoïde de Nicomède avec une preuve générale de constructibilité à la règle et au compas. La conchoïde est une courbe étudiée pour fournir une construction de trisection ; la règle et le compas seuls ne permettent pas de résoudre universellement les trois grands problèmes antiques, impossibilité rappelée dans la source.

Le premier piège concerne le mot « construction ». Une courbe auxiliaire peut fournir une construction géométrique de la trisection, mais cela ne signifie pas que la même construction soit réalisable avec une règle non graduée et un compas seuls. Lorsque les instruments autorisés sont limités à ces deux outils, il faut conserver cette distinction.

Le second piège concerne l'angle de 120°. Il s'agit d'un cas précis lié au polygone régulier à neuf côtés ; une trisection réussie de cet angle ne constitue pas une trisection universelle de tous les angles. Pour une autre valeur, il faut vérifier séparément que la courbe et la construction invoquées s'appliquent.

Enfin, 40° est ici une valeur exacte, obtenue par 360° ÷ 9 et par 120° ÷ 3. Une mesure expérimentale proche de 40° ne suffit pas à établir une construction exacte. La source ne donne ni biographie directe de Nicomède ni date précise de son invention ; il faut donc conserver les formulations prudentes.

La conchoïde de Nicomède ouvre une réflexion plus générale sur les limites des instruments géométriques. Elle montre qu'une courbe auxiliaire peut rendre une construction possible dans un cadre géométrique élargi, alors que la règle et le compas seuls restent soumis aux impossibilités rappelées pour les problèmes antiques. Cette distinction aide à comprendre pourquoi une méthode historique peut être féconde sans être une solution universelle.