trisectrice

Imaginez un angle de 120° dessiné comme un éventail ouvert. Deux demi-droites partent de son sommet et découpent l'ouverture en trois secteurs de 40°. Chacune de ces deux demi-droites est une trisectrice de l'angle.

Le même mot peut aussi nommer une courbe plane utilisée comme instrument géométrique : avec une construction adaptée, elle donne le tiers d'un angle. Le contexte indique donc si l'on parle d'un trait dans un angle ou d'une courbe entière.

Soit un angle de sommet O et de mesure α. Sa trisection est le partage de son ouverture en trois angles de même mesure, α/3. Elle exige deux demi-droites intérieures issues de O. Chacune est une trisectrice : la première se situe à α/3 d'un côté de l'angle, la seconde à 2α/3 de ce même côté. Les deux côtés de départ et les deux trisectrices délimitent ainsi trois secteurs égaux.

Dans un triangle, chaque angle possède une paire de trisectrices. Le théorème de Morley porte sur les intersections de trisectrices adjacentes : les trois points ainsi obtenus sont les sommets d'un triangle équilatéral. Il ne suffit donc pas de choisir trois intersections quelconques parmi les six demi-droites.

Dans sa seconde acception, une trisectrice est une courbe plane qui sert à construire graphiquement le tiers d'un angle. La trisectrice de Maclaurin, la trisectrice de Tschirnhausen, également appelée trisectrice de Catalan, et la conchoïde de Nicomède en sont des exemples. Une demi-droite de partage et une courbe de construction portent donc le même nom, mais ne sont pas le même objet.

Données. L'angle AOB a pour sommet O et mesure 120°. Deux demi-droites intérieures, tracées depuis O, doivent partager cette ouverture en trois angles égaux.

1. Divisez la mesure totale par trois.

2. Placez la première demi-droite à 40° du côté OA. Elle est une première trisectrice.

3. Placez la seconde demi-droite à 80° du côté OA, soit 40° après la première. Elle est la seconde trisectrice.

4. Contrôlez les trois ouvertures successives : 40°, 80° − 40° = 40°, puis 120° − 80° = 40°. Leur somme vaut 120°, la mesure annoncée de l'angle AOB.

La figure matérialise ce contrôle : les deux demi-droites rouges séparent exactement trois secteurs portant chacun la mesure 40°.

Partager un angle connu. Lorsque la mesure de l'angle est disponible, on calcule son tiers puis on place deux demi-droites aux positions α/3 et 2α/3 depuis le même côté. Pour l'angle de 120°, ces positions sont 40° et 80°.

Étudier un triangle. Lorsque le problème porte sur le théorème de Morley, on trace la paire de trisectrices de chacun des trois angles. On retient les intersections de trisectrices adjacentes pour obtenir le triangle équilatéral annoncé.

Effectuer une trisection graphique. Lorsque le mot désigne une courbe plane, on emploie la construction propre à cette courbe pour obtenir le tiers de l'angle. La trisectrice de Maclaurin, celle de Tschirnhausen et la conchoïde de Nicomède sont trois supports possibles.

Trisectrice et bissectrice. Une trisectrice appartient à un partage en trois angles égaux, qui nécessite deux demi-droites intérieures. Une bissectrice partage l'angle en deux angles égaux avec une seule demi-droite. Dans un angle de 120°, les secteurs mesurent respectivement 40° ou 60°.

Demi-droite trisectrice et courbe trisectrice. La première part du sommet d'un angle et borde deux des trois secteurs. La seconde est une courbe plane servant à une construction graphique. La présence d'un angle déjà partagé ou, au contraire, d'une courbe complète permet de trancher.

Une seule demi-droite ne montre pas tout le partage. Elle peut être une trisectrice, située à α/3 ou à 2α/3 depuis un côté, mais la seconde manque pour rendre visibles les trois secteurs. Il faut tracer la paire et contrôler leurs trois mesures.

Angle non précisé. Une demi-droite n'est pas trisectrice par elle-même : elle l'est relativement à un angle et à son sommet. Si les deux côtés de l'angle ne sont pas identifiés, il faut d'abord les fixer avant de parler de tiers.

Choix des intersections dans Morley. Le théorème concerne les trisectrices adjacentes des angles d'un triangle. Les autres choix d'intersections ne sont pas ceux garantis par le théorème et ne garantissent donc pas un triangle équilatéral ; il faut repérer les demi-droites voisines avant de former le triangle intérieur.

Courbe et résultat. Une courbe dite trisectrice ne partage pas à elle seule toute ouverture simplement parce qu'elle est dessinée. Il faut appliquer la construction graphique associée à la courbe choisie pour obtenir le tiers de l'angle donné.

trisection d'un angle — Approfondir le problème géométrique auquel répondent les demi-droites et les courbes trisectrices.

théorème de Morley — Relier les trisectrices adjacentes d'un triangle à la formation d'un triangle équilatéral.

Le « miracle » de Morley — Prolonger l'observation du triangle équilatéral issu des trisectrices par un article consacré à ce résultat.

Les triangles dont une trisectrice est médiane — Examiner une configuration où une trisectrice d'un triangle possède aussi le rôle de médiane.