théorème de Morley

Prenez un triangle, puis partagez chacun de ses trois angles en trois angles égaux. Les six demi-droites ainsi tracées se croisent à l’intérieur de la figure. Trois de leurs points de rencontre dessinent alors un nouveau triangle.

La surprise est que ce petit triangle possède toujours trois côtés égaux, même si le triangle de départ est très allongé ou rectangle. Ce triangle intérieur est le triangle de Morley.

Le théorème de Morley est un résultat de géométrie euclidienne plane applicable à tout triangle non dégénéré. Une trisectrice intérieure partage un angle du triangle en trois angles de même mesure. Deux trisectrices intérieures partent donc de chaque sommet.

Pour chacun des trois côtés, on considère les deux trisectrices qui bordent ce côté, l’une issue de chacune de ses extrémités. Leur intersection fournit un point intérieur. Les trois points obtenus de cette manière sont les sommets d’un triangle équilatéral : le triangle de Morley. La conclusion porte sur ces trois intersections précises, et non sur n’importe quels points de rencontre des six trisectrices.

Si les trois angles intérieurs d’un triangle non dégénéré sont partagés en trois angles égaux, alors les intersections des trisectrices intérieures adjacentes à chacun de ses côtés forment un triangle équilatéral. Autrement dit, les trois segments joignant ces intersections ont la même longueur.

Le résultat s’applique dans le plan euclidien à un véritable triangle : ses trois sommets sont distincts et non alignés. Il faut partager chacun des trois angles intérieurs en trois parts égales, puis choisir, pour chaque côté, les deux trisectrices qui lui sont adjacentes. Ces conditions déterminent les trois sommets du triangle de Morley.

Si les trois points de départ sont alignés, aucun angle intérieur de triangle n’est défini et la construction est bloquée. Il faut alors choisir trois points non alignés. De même, une division seulement approximative des angles produit au mieux un triangle presque équilatéral : elle illustre le théorème sans en réaliser exactement les hypothèses.

Considérons un triangle rectangle dont les deux angles connus mesurent 90° et 30°. Plaçons ses sommets aux coordonnées (0 ; 0), (√3 ; 0) et (0 ; 1).

1. Le troisième angle mesure 180° − 90° − 30° = 60°. Les trois angles du triangle sont donc 90°, 30° et 60°.

2. Leurs trisections donnent respectivement des parts de 30°, 10° et 20°. Deux trisectrices intérieures sont tracées à chaque sommet.

3. Nommons P, Q et R les intersections des paires de trisectrices adjacentes aux trois côtés. La construction montre simultanément le triangle initial, les six trisectrices et le triangle intérieur à contrôler.

4. Le calcul des intersections donne approximativement P (0,4052 ; 0,2340), Q (0,4465 ; 0,4679) et R (0,2232 ; 0,3867). Avec la formule de distance, on obtient PQ ≈ 0,2376, QR ≈ 0,2376 et RP ≈ 0,2376.

Les trois longueurs concordent à l’arrondi près : le triangle PQR est équilatéral, comme l’annonce le théorème. Ce calcul coordonné est un contrôle refaisable de l’exemple, pas une preuve pour tous les triangles.

Sur une figure de géométrie, le théorème donne une conclusion immédiate dès que trois intersections proviennent bien des trisectrices intérieures adjacentes aux côtés. On peut alors remplacer trois vérifications de longueur par l’identification de cette configuration.

Pour construire une illustration, on règle chaque angle sur le tiers de sa mesure et l’on marque les trois intersections concernées. Si le tracé est manuel et manque de précision, un logiciel de géométrie dynamique est préférable pour contrôler l’égalité des trois côtés.

Dans un problème, la réciproque ne doit pas être supposée. Observer un triangle équilatéral à l’intérieur d’un autre triangle ne suffit pas à conclure que ses sommets sont des intersections de trisectrices.

Une trisectrice partage un angle en trois parts égales, tandis qu’une bissectrice le partage en deux. Dans un angle de 60°, les parts mesurent 20° avec des trisectrices et 30° avec une bissectrice.

Le triangle de Morley est le triangle intérieur formé par trois intersections choisies. Il ne faut pas le confondre avec le triangle initial : seul le premier est nécessairement équilatéral.

Le mot « adjacentes » est décisif. Parmi les nombreux croisements possibles des six trisectrices, il faut retenir, pour chaque côté, l’intersection des deux trisectrices qui bordent ce côté. Choisir trois autres croisements ne donne pas automatiquement le triangle annoncé.

Un triangle aplati sur une droite est un cas dégénéré, pas un triangle auquel appliquer le théorème. Dès que les trois sommets ne sont plus alignés, même pour un triangle très mince, la construction intérieure reste définie.

Sur un dessin, des mesures arrondies peuvent produire trois côtés légèrement différents. Ce symptôme signale une imprécision de construction, non une exception au théorème ; il faut contrôler les tiers d’angles ou utiliser une construction dynamique.

Enfin, l’énoncé direct ne fournit pas sa réciproque. La présence d’un triangle équilatéral inscrit ne permet pas, à elle seule, d’identifier ses sommets comme les intersections de trisectrices adjacentes.

La fiche trisectrice précise l’objet géométrique utilisé à chacun des sommets et aide à distinguer trisection et bissection.

L’article Le « miracle » de Morley prolonge l’étude du résultat et de son caractère surprenant.

L’article Les triangles dont une trisectrice est médiane examine une autre contrainte remarquable portant sur une trisectrice.