centre du cercle inscrit

Imaginez que l'on cherche à poser une pièce ronde dans un triangle, contre ses trois côtés. Son centre doit se trouver à la même distance de chacun d'eux. Pour le repérer, on partage deux angles du triangle en deux angles égaux et l'on trace les droites correspondantes. Leur croisement est l'incentre. La troisième droite passe aussi par ce point, et le cercle centré là peut toucher les trois côtés sans sortir du triangle.

Dans un triangle non dégénéré, la bissectrice intérieure d'un angle partage cet angle en deux angles égaux. Les trois bissectrices intérieures sont concourantes : leur point commun est le centre du cercle inscrit, aussi nommé incentre et habituellement noté I. Deux bissectrices suffisent pour le construire ; le théorème de concours garantit que la troisième passe par le même point.

La distance de I à une droite qui porte un côté est la longueur du segment perpendiculaire mené de I à cette droite. Ces trois distances sont égales. Leur valeur commune est le rayon r du cercle inscrit. Comme I est intérieur au triangle, les pieds des trois perpendiculaires appartiennent aux côtés : le cercle de centre I et de rayon r est donc tangent à chacun d'eux. Pour tout triangle non dégénéré, ce cercle intérieur est unique.

Si l'aire du triangle est notée 𝒜 et son demi-périmètre s, le rayon se calcule par $r=\frac{\mathcal{A}}{s}r=\backslash frac\{\backslash mathcal\{A\}\}\{s\}$. Cette relation vient du partage du triangle en trois triangles ayant tous pour hauteur r.

La construction repose sur quatre éléments liés. Le triangle fournit trois angles et trois côtés. Chaque bissectrice intérieure partage l'un de ces angles en deux parts égales. Leur point de concours I fixe le centre. Enfin, les perpendiculaires abaissées de I vers les côtés déterminent trois points de tangence et une même longueur r.

Le concours des bissectrices détermine I indépendamment de la taille ou de l'orientation du dessin. L'équidistance de I aux côtés détermine ensuite le rayon et rend possible un seul cercle tangent aux trois côtés. L'épaisseur des traits, la couleur du cercle ou la place du triangle sur la page ne participent pas à la définition. La figure d'un triangle 3–4–5 montre ensemble le concours en I et les trois tangences.

Considérons le triangle rectangle ABC dont les côtés perpendiculaires mesurent AC = 3 cm et AB = 4 cm, tandis que l'hypoténuse BC mesure 5 cm. Dans un repère d'origine A, prenons A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(0 ; 3).

1. Calculer l'aire 𝒜 du triangle : 𝒜 = (3 × 4) ÷ 2 = 6 cm².
2. Calculer le demi-périmètre s : s = (3 + 4 + 5) ÷ 2 = 6 cm.
3. Appliquer la relation entre l'aire, le demi-périmètre et le rayon : $r=\frac{\mathcal{A}}{s}=\frac{6}{6}=1\text{cm}r=\backslash frac\{\backslash mathcal\{A\}\}\{s\}=\backslash frac\{6\}\{6\}=1\backslash ,\backslash text\{cm\}$.
4. Placer I au point (1 ; 1), à 1 cm de chacun des deux côtés perpendiculaires. Sa distance à la droite BC est aussi 1 cm.

Le cercle de centre I et de rayon 1 cm est donc tangent aux trois côtés. Le contrôle est refaisable : les trois petits triangles de bases 3 cm, 4 cm et 5 cm et de hauteur 1 cm ont pour aire totale (3 + 4 + 5) × 1 ÷ 2 = 6 cm², égale à l'aire de ABC.

Pour construire le cercle inscrit à la règle et au compas, on trace deux bissectrices intérieures. Leur intersection donne I ; une perpendiculaire de I à un côté donne le rayon. Une mesure prise seulement à l'œil est moins fiable, car une petite erreur déplace la tangence.

Quand les trois longueurs des côtés sont connues, le calcul r = A ÷ s est souvent plus direct qu'une construction. Dans le triangle 3–4–5, il donne exactement 1 cm et fournit un contrôle numérique du tracé.

Dans un logiciel de géométrie, il vaut mieux définir I comme intersection de bissectrices plutôt que le placer librement. Le cercle reste alors tangent lorsque les sommets bougent, tant que le triangle ne devient pas dégénéré.

L'incentre ne se confond pas avec le centre du cercle circonscrit. Le premier est à égale distance des côtés et se trouve au croisement des bissectrices intérieures ; le second est à égale distance des sommets et se trouve au croisement des médiatrices. Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse, tandis que l'incentre reste à l'intérieur près des trois côtés.

L'incentre ne se confond pas non plus avec le centre de gravité. Le centre de gravité est le point de concours des médianes, qui joignent un sommet au milieu du côté opposé. Dans le triangle 3–4–5 choisi, I a pour coordonnées (1 ; 1), alors que le centre de gravité a pour coordonnées (4/3 ; 1).

L'existence d'un cercle inscrit intérieur suppose un triangle non dégénéré. Si les trois sommets sont alignés, l'aire vaut 0 et l'intérieur du triangle disparaît : le rayon calculé vaut 0, ce qui ne définit plus un cercle tangent intérieur. Il faut alors traiter la figure comme un cas dégénéré, pas comme un triangle ordinaire.

Dans un triangle très aplati mais encore non dégénéré, l'incentre existe toujours et reste intérieur, mais son rayon devient très petit. Un tracé imprécis peut donner l'impression que le cercle coupe un côté. Il faut contrôler la perpendicularité des rayons aux côtés ou comparer les trois distances de I aux droites qui les portent.

Les bissectrices à utiliser sont les bissectrices intérieures. Des bissectrices extérieures conduisent à des excentres et à des cercles exinscrits, qui ne sont pas le cercle inscrit intérieur au triangle.

La fiche bissectrice intérieure approfondit la droite qui partage un angle du triangle et explique pourquoi elle intervient dans la construction de l'incentre.