cercle inscrit dans un triangle

Imaginez que l'on gonfle un disque à l'intérieur d'un triangle. Il grandit jusqu'à toucher chacun des trois côtés, sans en franchir aucun. Son bord est alors le cercle inscrit.

Le centre du disque se trouve à égale distance des trois côtés. Pour le repérer, on trace les lignes qui partagent les angles du triangle en deux angles égaux : elles se rencontrent en un même point, l'incentre.

Dans tout triangle euclidien non dégénéré, le cercle inscrit est l'unique cercle intérieur tangent aux trois côtés. Son centre est l'incentre, noté I. Ce point est l'intersection des trois bissectrices intérieures et appartient toujours à l'intérieur du triangle. La distance perpendiculaire de I à chacun des côtés est la même ; cette distance est le rayon inscrit, noté r.

Notons K l'aire du triangle et s son demi-périmètre. Les trois segments joignant I aux sommets partagent le triangle en trois triangles de hauteur r. La somme de leurs aires donne la relation $r=\frac{K}{s}r=\backslash frac\{K\}\{s\}$.

Si les longueurs des côtés opposés aux sommets A, B et C sont respectivement a, b et c, alors les deux tangentes issues d'un même sommet ont la même longueur. Les distances de A, B et C à leurs points de tangence valent respectivement s − a, s − b et s − c. Ces égalités déterminent les trois points où le cercle touche les côtés.

La figure réunit cinq éléments nécessaires : le triangle, ses trois bissectrices intérieures, leur point commun I, le cercle de centre I et les trois points de tangence. Deux bissectrices suffisent pour construire I ; la troisième passe nécessairement par ce même point. La distance perpendiculaire de I à un côté fixe le rayon, puis le cercle ainsi tracé touche aussi les deux autres côtés.

Les points de tangence sont les pieds de ces trois perpendiculaires. Leur position est déterminée par les longueurs et les angles du triangle ; sous une rotation ou un changement d'échelle, leur configuration relative reste inchangée à similitude près. Ces données suffisent à construire le cercle et à calculer son rayon ainsi que les six segments découpés sur les côtés.

Considérons un triangle ABC dont les côtés AB, AC et BC mesurent respectivement 13 cm, 14 cm et 15 cm. Nous cherchons le rayon du cercle inscrit et la position de ses points de tangence.

1. Le périmètre vaut 13 + 14 + 15 = 42 cm, donc le demi-périmètre s vaut 21 cm.
2. La formule de Héron donne :3. Le rayon inscrit est donc r = 84 ÷ 21 = 4 cm.
4. Depuis A, B et C, les longueurs tangentes valent respectivement 21 − 15 = 6 cm, 21 − 14 = 7 cm et 21 − 13 = 8 cm.

Le contrôle se fait côté par côté : AB mesure 6 + 7 = 13 cm, AC mesure 6 + 8 = 14 cm et BC mesure 7 + 8 = 15 cm. Le cercle de centre I et de rayon 4 cm est donc tangent aux trois côtés aux positions calculées.

Sur une figure à construire, tracez deux bissectrices intérieures pour obtenir l'incentre, puis abaissez une perpendiculaire vers un côté. Cette méthode est préférable à un cercle ajusté à l'œil, car elle fixe exactement le centre et le rayon.

Lorsque les trois longueurs des côtés sont connues, calculez d'abord l'aire et le demi-périmètre, puis utilisez r = K ÷ s. Cette voie évite une construction dont la précision dépendrait du dessin.

Pour contrôler un cercle déjà tracé, mesurez les trois distances perpendiculaires de son centre aux côtés. Si elles ne coïncident pas à la précision du tracé, le cercle n'est pas le cercle inscrit ; vérifier seulement qu'il semble rester dans le triangle ne suffit pas.

Cercle circonscrit. Il passe par les trois sommets, tandis que le cercle inscrit touche les trois côtés. Son centre est l'intersection des médiatrices et peut être extérieur à un triangle obtus ; l'incentre reste toujours intérieur.

Cercle exinscrit. Il est tangent à un côté et aux prolongements des deux autres. Son centre est extérieur au triangle. Dans le triangle de côtés 13, 14 et 15 cm, un cercle tangent aux trois droites des côtés dans cette configuration extérieure est donc exinscrit, et non inscrit.

Triangle dégénéré. Si les trois sommets sont alignés, l'aire est nulle et il n'existe pas de cercle inscrit de rayon strictement positif. La formule donnerait r = 0 : elle décrit l'effondrement de la figure, non un véritable cercle.

Triangle presque aplati. Tant que l'inégalité triangulaire reste stricte, le cercle existe, mais son rayon peut devenir très petit. Un dessin peu précis peut alors faire croire que le cercle coupe un côté ; il faut contrôler les distances perpendiculaires plutôt que l'apparence.

Unités incohérentes. Dans r = K ÷ s, l'aire et le demi-périmètre doivent employer des unités compatibles. Avant d'effectuer ou d'interpréter numériquement la division de centimètres carrés par des mètres, il faut donc convertir les unités.

Le cercle inscrit replace cette construction dans le cadre plus large des figures auxquelles un cercle peut être tangent intérieurement.

La bissectrice intérieure détaille la propriété d'équidistance qui explique pourquoi les trois bissectrices déterminent l'incentre.

La formule de Héron permet de calculer l'aire à partir des trois côtés, puis d'en déduire le rayon inscrit.