formule de Héron

Imaginez un terrain triangulaire dont vous pouvez mesurer les trois bords, mais pas la hauteur. La formule de Héron transforme ces trois longueurs en aire. Pour un triangle de côtés 13 cm, 14 cm et 15 cm, on additionne d’abord les côtés et on divise par deux : le demi-périmètre vaut 21 cm. Cette valeur, combinée aux trois écarts avec les côtés, conduit à une aire de 84 cm². Aucun angle n’a besoin d’être mesuré.

La formule de Héron donne l’aire d’un triangle euclidien à partir des seules longueurs de ses trois côtés. On note a, b et c ces longueurs, exprimées dans une même unité. On introduit leur demi-périmètre, noté p : $p=\frac{a+b+c}{2}p=\backslash frac\{a+b+c\}\{2\}$. Si S désigne l’aire, alors :

Les trois longueurs doivent former un triangle non dégénéré : chacune est strictement inférieure à la somme des deux autres. Ces inégalités rendent positifs les facteurs p − a, p − b et p − c. Le résultat est une aire, donc son unité est le carré de l’unité choisie pour les côtés. Attribuée à Héron d’Alexandrie, la formule évite de connaître une hauteur ou un angle. Elle intervient notamment en topographie et en géométrie computationnelle.

Si trois longueurs positives a, b et c, dans une même unité, vérifient strictement les inégalités triangulaires, elles déterminent un triangle non dégénéré. Son demi-périmètre p et son aire S satisfont : $p=\frac{a+b+c}{2}p=\backslash frac\{a+b+c\}\{2\}$, puis $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}S=\backslash sqrt\{p(p-a)(p-b)(p-c)\}$. Chaque facteur sous la racine est alors positif, et l’aire obtenue s’exprime dans l’unité de longueur au carré.

La formule s’applique à un triangle de la géométrie euclidienne lorsque les trois côtés sont connus dans une même unité. Les longueurs doivent être positives et vérifier . On obtient alors l’aire intérieure du triangle.

Avec 2 cm, 3 cm et 5 cm, une longueur égale la somme des deux autres : les points seraient alignés et l’aire vaudrait 0. Ce cas dégénéré n’entre pas dans l’énoncé strict. Avec 2 cm, 3 cm et 6 cm, aucun triangle n’existe ; il faut corriger les données plutôt que prendre la racine carrée d’un produit négatif. Pour un triangle tracé sur une sphère, il faut employer une formule de géométrie sphérique.

Un triangle a pour côtés 13 cm, 14 cm et 15 cm. Ces trois données utilisent la même unité et vérifient les inégalités triangulaires. La figure représente ces longueurs et une hauteur de contrôle de 12 cm.

1. Additionner les côtés : 13 + 14 + 15 = 42 cm.
2. Diviser le périmètre par deux : p = 42 ÷ 2 = 21 cm.
3. Calculer les écarts : p − 13 = 8 cm, p − 14 = 7 cm et p − 15 = 6 cm.
4. Appliquer la formule : $S=\sqrt{21\times 8\times 7\times 6}=\sqrt{7056}=84S=\backslash sqrt\{21\backslash times8\backslash times7\backslash times6\}=\backslash sqrt\{7056\}=84$.

L’aire du triangle est donc exactement 84 cm². Un contrôle indépendant utilise le côté de 14 cm comme base et la hauteur correspondante de 12 cm : 14 × 12 ÷ 2 = 84 cm².

Sur un terrain triangulaire, trois distances entre les sommets suffisent pour calculer la surface. Si une hauteur perpendiculaire est accessible et mesurable avec une meilleure précision, la formule base × hauteur ÷ 2 est plus directe.

Dans un programme de géométrie, les coordonnées de trois points donnent souvent l’aire par un déterminant. Héron devient utile lorsque les données disponibles sont seulement les trois distances entre ces points.

Pour contrôler un calcul, on vérifie d’abord la plus grande longueur : elle doit être strictement inférieure à la somme des deux autres. On conserve aussi une unité commune avant d’effectuer les produits.

Avec la formule base-hauteur. Elle demande une base et la hauteur perpendiculaire correspondante ; Héron demande les trois côtés. Pour le triangle 13–14–15, les deux calculs donnent 84 cm², mais ils ne partent pas des mêmes mesures.

Avec l’algorithme de Héron. Cet algorithme approche une racine carrée par itérations, tandis que la formule étudiée calcule l’aire d’un triangle. Le nom de Héron ne suffit donc pas à identifier l’objet : la présence de trois côtés caractérise la formule d’aire.

Triangle aplati. Si la plus grande longueur égale la somme des deux autres, comme 5 = 2 + 3, un facteur sous la racine est nul. L’aire calculée vaut 0, mais la figure est dégénérée et ne satisfait pas les inégalités strictes de l’énoncé.

Données incompatibles. Si la plus grande longueur dépasse la somme des deux autres, le produit sous la racine devient négatif. Ce symptôme indique qu’aucun triangle euclidien ne correspond aux mesures ; il ne faut pas remplacer arbitrairement le produit par sa valeur absolue.

Mesures presque dégénérées. Lorsque la plus grande longueur est très proche de la somme des deux autres, l’aire devient petite et très sensible aux arrondis. Il faut conserver la précision des mesures et interpréter le résultat avec leur incertitude.

Unités mélangées. Des côtés donnés en mètres et en centimètres doivent être convertis avant le calcul. Une fois les trois longueurs exprimées dans la même unité, l’aire porte l’unité correspondante au carré.

La formule peut se retrouver à partir de $S=\frac{1}{2}ab\sin CS=\backslash frac\{1\}\{2\}ab\backslash sin\; C$ : la loi des cosinus exprime l’angle C à l’aide des trois côtés, puis une identité trigonométrique élimine cet angle. Cette dérivation relie ainsi Héron aux formules usuelles de l’aire.

L’article L’algorithme de Héron présente l’autre résultat célèbre portant ce nom : une méthode itérative pour approcher une racine carrée.