formule de Bretschneider

Imaginez un terrain à quatre côtés dont vous connaissez les quatre longueurs. Ces données ne suffisent pas toujours à fixer son aire : la forme peut s'aplatir ou se redresser sans que les côtés changent. La formule de Bretschneider ajoute donc une information sur deux angles opposés. Elle combine ces cinq mesures pour retrouver l'aire, y compris lorsque le quadrilatère n'est ni un rectangle ni une figure régulière.

La formule de Bretschneider est une formule d'aire pour un quadrilatère sans auto-intersection, qu'il soit convexe ou concave. Les longueurs de ses quatre côtés successifs sont notées a, b, c et d. Son demi-périmètre, noté p, est la moitié de leur somme. Les mesures de deux angles opposés sont notées B et D, et l'aire est notée S.

Avec ces notations, le carré de l'aire vérifie :La formule montre pourquoi les quatre côtés ne déterminent pas seuls l'aire : le terme en cosinus tient compte de l'ouverture de la figure.

Si le quadrilatère est inscriptible dans un cercle, ses angles opposés vérifient $B+D=\pi B+D=\backslash pi$. Le cosinus s'annule et l'expression devient la formule de Brahmagupta. Lorsque le quatrième côté tend vers zéro, le quadrilatère devient dégénéré et ses angles opposés ne sont plus définis à la limite ; c'est la réduction algébrique de l'expression, et non une application directe de la formule au quadrilatère dégénéré, qui redonne la formule de Héron. La formule est due au mathématicien allemand Carl Anton Bretschneider (1808–1878), avec une attribution alternative à Julian Coolidge (1873–1954) mentionnée par certains historiens.

Soit un quadrilatère sans auto-intersection. Les longueurs de ses côtés successifs sont a, b, c et d, son demi-périmètre est $p=\frac{a+b+c+d}{2}p=\backslash frac\{a+b+c+d\}\{2\}$, et deux angles opposés mesurent B et D. Alors son aire S satisfait :L'aire cherchée est la racine carrée non négative du résultat.

La formule s'applique à un quadrilatère dont le contour ne se croise pas, convexe ou concave. Il faut connaître les quatre longueurs de côtés dans leur ordre autour du contour et les mesures d'une paire d'angles opposés. Toutes les longueurs doivent être exprimées dans la même unité ; l'aire obtenue est alors donnée dans l'unité carrée correspondante.

Un quadrilatère en nœud papillon constitue un contre-cas : deux côtés se coupent hors de leurs extrémités, donc le contour est auto-intersectant. L'expression annoncée ici ne lui attribue pas l'aire d'une région simple. Il faut d'abord préciser les régions dont on veut mesurer l'aire et les traiter séparément.

Considérons un parallélogramme dont les côtés successifs mesurent 5 cm, 3 cm, 5 cm et 3 cm. Deux angles opposés mesurent chacun 120°. La figure associée rend visibles ces données et l'ouverture qui intervient dans le calcul.

1. Le demi-périmètre vaut $p=\frac{5+3+5+3}{2}=8\mathrm{c}\mathrm{m}p=\backslash frac\{5+3+5+3\}\{2\}=8\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}$.

2. La moitié de la somme des angles opposés vaut $\frac{{120}^{\circ }+{120}^{\circ }}{2}={120}^{\circ }\backslash frac\{120^\backslash circ+120^\backslash circ\}\{2\}=120^\backslash circ$, donc son cosinus au carré vaut ${\cos }^2({120}^{\circ })=\frac{1}{4}\backslash cos^2(120^\backslash circ)=\backslash frac14$.

3. On remplace les données dans la formule :

4. L'aire est donc $S=\frac{15\sqrt{3}}{2}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\approx \mathrm{12,99}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}S=\backslash frac\{15\backslash sqrt3\}\{2\}\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^2\backslash approx12\{,\}99\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^2$. Pour contrôler le résultat, la hauteur relative au côté de 5 cm vaut $3\sin ({60}^{\circ })=\frac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{c}\mathrm{m}3\backslash sin(60^\backslash circ)=\backslash frac\{3\backslash sqrt3\}\{2\}\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}$ ; le produit base × hauteur redonne exactement $\frac{15\sqrt{3}}{2}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\backslash frac\{15\backslash sqrt3\}\{2\}\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^2$.

Dans un exercice, la formule de Bretschneider est adaptée lorsque quatre côtés et deux angles opposés sont fournis, mais qu'aucune hauteur ni diagonale n'est directement disponible. Le geste utile consiste à calculer d'abord le demi-périmètre, puis le terme angulaire, avant de prendre la racine carrée.

Si le quadrilatère est inscriptible dans un cercle, la somme de deux angles opposés vaut 180° : la formule de Brahmagupta est alors plus courte. Si la figure est déjà un triangle, la formule de Héron suffit.

Après le calcul, un contrôle géométrique reste précieux. Pour un parallélogramme, comme dans l'exemple de 5 cm sur 3 cm, le produit d'une base par la hauteur correspondante doit retrouver la même aire.

La formule de Brahmagupta ne traite pas tous les quadrilatères : elle correspond au cas où les quatre sommets sont sur un même cercle. Un quadrilatère dont les angles opposés ne totalisent pas 180° exige le terme en cosinus de Bretschneider.

La formule de Héron calcule l'aire d'un triangle à partir de ses trois côtés. Pour une figure possédant quatre côtés non nuls, elle ne remplace pas directement la formule de Bretschneider.

Les quatre longueurs seules ne fixent pas l'aire d'un quadrilatère général. Si les angles opposés manquent, différentes ouvertures peuvent produire différentes aires avec les mêmes côtés ; il faut obtenir une donnée angulaire supplémentaire.

Le cas charnière est $B+D={180}^{\circ }B+D=180^\backslash circ$ : le terme en cosinus vaut zéro et la formule se réduit exactement à celle de Brahmagupta. Ce n'est pas une approximation valable pour un quadrilatère seulement presque inscriptible.

Lorsque le quatrième côté tend vers zéro, le quadrilatère dégénère en triangle et les angles opposés ne sont plus définis à la limite. La réduction à la formule de Héron est donc une identité algébrique obtenue par passage à la limite, et non une application directe de la formule au quadrilatère dégénéré. Si ce côté est seulement très petit, il ne faut pas le remplacer par zéro sans annoncer l'approximation.

Un contour auto-intersectant sort du domaine annoncé, même si quatre longueurs et deux angles sont disponibles. Le symptôme est le croisement de deux côtés hors des sommets ; il faut définir les régions simples à mesurer avant tout calcul.

La formule de Brahmagupta isole le cas des quadrilatères inscriptibles, dans lequel l'information angulaire disparaît du calcul.

La formule de Héron montre ce que devient la même structure lorsque l'un des quatre côtés s'annule et qu'il reste un triangle.

La fiche quadrilatère reprend la définition et le vocabulaire de la figure à quatre côtés sur laquelle porte la formule.