Brahmagupta

En 628, en Inde, Brahmagupta rassemble dans le Brahmasphutasiddhanta des règles pour calculer avec le zéro et les nombres négatifs. Ces objets deviennent ainsi des nombres avec lesquels on peut mener des opérations, et pas seulement des marques inhabituelles dans une écriture.

Il relie aussi les longueurs et les aires. Pour un quadrilatère simple, convexe et non dégénéré dont les quatre sommets sont sur un même cercle, les quatre côtés suffisent à calculer son aire grâce à la formule qui porte son nom.

Brahmagupta est un astronome et mathématicien indien, né vers 598 et mort vers 668. Son nom s'écrit aussi Bramagoupta. Son traité Brahmasphutasiddhanta, daté de 628, formalise des règles arithmétiques portant sur le zéro et les nombres négatifs. Ses travaux relèvent de l'arithmétique, de l'algèbre et de l'astronomie, puis influencent durablement les mathématiques indiennes et islamiques.

En géométrie, la formule de Brahmagupta calcule l'aire d'un quadrilatère cyclique simple, convexe et non dégénéré, c'est-à-dire d'un quadrilatère dont les quatre sommets appartiennent à un même cercle. Les longueurs positives et compatibles de ses côtés sont notées a, b, c et d. Son demi-périmètre, noté s, est la moitié de leur somme : $s=\frac{a+b+c+d}{2}s=\backslash frac\{a+b+c+d\}\{2\}$.

Si l'aire est notée A, la formule s'écrit : La condition d'inscription dans un cercle est essentielle : sans elle, les quatre côtés ne déterminent pas à eux seuls l'aire d'un quadrilatère.

Un carré est inscrit dans un cercle. Ses quatre côtés mesurent 6 unités ; il constitue donc un cas de quadrilatère cyclique. La figure rend visibles le cercle commun aux quatre sommets et les quatre longueurs égales.

Données :
les côtés valent a = 6, b = 6, c = 6 et d = 6 ;
les quatre sommets appartiennent au même cercle.

1. Le périmètre vaut 6 + 6 + 6 + 6 = 24 unités. Le demi-périmètre vaut donc s = 24 ÷ 2 = 12 unités.

2. Chaque différence vaut 12 − 6 = 6 unités. La formule donne :

3. L'aire du carré vaut 36 unités carrées. Le contrôle direct donne le même résultat : côté × côté = 6 × 6 = 36 unités carrées.

En histoire des mathématiques, Brahmagupta fournit un repère précis : le Brahmasphutasiddhanta de 628 atteste une formalisation des calculs avec zéro et nombres négatifs dans les mathématiques indiennes.

Pour calculer l'aire d'un quadrilatère simple, convexe et non dégénéré, la formule de Brahmagupta convient lorsque les quatre sommets sont sur un même cercle et que les quatre côtés sont connus. Sans ces conditions géométriques, il faut chercher d'autres données, comme un angle ou une diagonale.

Pour étudier la circulation des savoirs, ses travaux offrent enfin un passage entre arithmétique, algèbre et astronomie : leur influence se prolonge dans les mathématiques indiennes et islamiques.

La formule de Brahmagupta et la formule de Héron. La première porte sur un quadrilatère cyclique simple et convexe et utilise quatre côtés. La seconde porte sur un triangle et utilise trois côtés. Dans l'exemple du carré à quatre côtés de longueur 6, c'est donc la formule de Brahmagupta qui s'applique.

Le zéro et un nombre négatif. Le zéro n'est ni positif ni négatif ; un nombre négatif est strictement inférieur à zéro. Ainsi, −3 est négatif tandis que 0 marque la frontière entre nombres négatifs et positifs.

Quatre côtés ne suffisent pas toujours. Si les sommets ne sont pas tous sur un même cercle, deux quadrilatères ayant les mêmes longueurs peuvent avoir des aires différentes. Il faut alors connaître une information supplémentaire, par exemple un angle ou une diagonale, au lieu d'appliquer directement la formule.

Le cas aplati donne une aire nulle. Lorsque le plus long côté égale la somme des trois autres, le quadrilatère se dégénère : les sommets sont alignés et un facteur sous la racine vaut zéro. On obtient une aire égale à 0, mais plus une surface quadrilatérale ordinaire.

Calculer avec zéro n'autorise pas la division par zéro. Les opérations d'addition, de soustraction ou de multiplication peuvent inclure zéro. Une écriture comportant un diviseur nul ne fournit toutefois pas un quotient défini dans l'arithmétique usuelle ; il faut signaler que l'opération est impossible.

Le glossaire quadrilatère précise la famille de figures à laquelle s'applique la formule de Brahmagupta.

L'entrée arithmétique situe le domaine des règles de calcul formalisées dans le Brahmasphutasiddhanta.

L'entrée algèbre prolonge l'autre grand versant mathématique des travaux de Brahmagupta.

L'article Le zéro, ce héro ouvre une lecture complémentaire consacrée au nombre placé au cœur de ces règles arithmétiques.