quadrilatère inscriptible

Imaginez quatre points posés sur le bord d’un même cercle, puis reliez-les dans l’ordre. Le quadrilatère obtenu est inscriptible : le cercle passe par chacun de ses sommets.

Pour une figure convexe, un contrôle suffit souvent : deux angles opposés doivent totaliser 180°. Un rectangle de côtés 3 et 4 en donne une image familière, car deux angles droits opposés font bien 180°.

Un quadrilatère est inscriptible lorsqu’un même cercle, appelé cercle circonscrit, passe par ses quatre sommets. Pour un quadrilatère convexe non dégénéré, cette propriété équivaut au fait que chaque paire d’angles opposés est supplémentaire : leur somme vaut 180°.

Un second critère vient du théorème de Ptolémée. On note a, b, c et d les longueurs des côtés successifs, puis e et f celles des diagonales. Dans le cas convexe non dégénéré, le quadrilatère est inscriptible si et seulement si l’égalité suivante est vérifiée :

Lorsque le quadrilatère convexe est inscriptible, son aire S se calcule avec la formule de Brahmagupta. Le demi-périmètre p vaut la moitié de la somme des quatre côtés : $p=\frac{a+b+c+d}{2}p=\backslash frac\{a+b+c+d\}\{2\}$. Alors $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}S=\backslash sqrt\{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\}$. Cette formule d’aire suppose donc à la fois la convexité et l’inscriptibilité.

Considérons un rectangle dont les côtés mesurent 3 et 4. Les données sont les quatre côtés, de longueurs successives 3, 4, 3 et 4, ainsi que deux diagonales de longueur 5. La figure rend visibles les quatre sommets sur un même cercle et les deux diagonales.

1. Deux angles opposés du rectangle mesurent chacun 90°. Leur somme vaut donc 90° + 90° = 180° : le critère angulaire d’inscriptibilité est satisfait.

2. Le produit des diagonales vaut $5\times 5=255\backslash times5=25$. La somme des produits des côtés opposés vaut $3\times 3+4\times 4=9+16=253\backslash times3+4\backslash times4=9+16=25$. L’égalité de Ptolémée est bien vérifiée.

3. Le demi-périmètre vaut $p=\frac{3+4+3+4}{2}=7p=\backslash frac\{3+4+3+4\}\{2\}=7$. La formule de Brahmagupta donne alors $S=\sqrt{(7-3)(7-4)(7-3)(7-4)}=\sqrt{144}=12S=\backslash sqrt\{(7-3)(7-4)(7-3)(7-4)\}=\backslash sqrt\{144\}=12$.

L’aire obtenue est 12 unités carrées. On la contrôle indépendamment avec la formule du rectangle : 3 × 4 = 12 unités carrées.

Sur une figure convexe, mesurez une paire d’angles opposés. Si leur somme vaut 180°, le critère angulaire établit l’inscriptibilité ; si les longueurs sont plus fiables que les angles, préférez le contrôle de Ptolémée.

Avec les quatre côtés et les deux diagonales, comparez le produit des diagonales à la somme des produits des côtés opposés. L’égalité exacte convient aux données théoriques ; pour des mesures, tenez compte de la précision des instruments.

Pour calculer une aire à partir des seuls côtés, employez Brahmagupta après avoir établi que le quadrilatère est convexe et inscriptible. Sans ces deux conditions, cette formule n’est pas le bon outil.

Un cercle inscrit est tangent aux quatre côtés, tandis que le cercle circonscrit passe par les quatre sommets. Le rectangle 3 × 4 est inscriptible, mais aucun cercle n’est tangent à ses quatre côtés : ce cas sépare nettement les deux notions.

Le test « angles opposés supplémentaires » concerne le quadrilatère convexe. Si les côtés se croisent, ce critère ne s’applique pas tel quel : le cas croisé exige une analyse distincte de la configuration.

L’égalité de Ptolémée caractérise ici un quadrilatère convexe non dégénéré. Avant de l’appliquer, vérifiez donc que les quatre côtés forment bien une figure convexe et que les diagonales relient les sommets opposés.

La formule de Brahmagupta ne s’étend pas automatiquement au cas croisé. Le croisement des côtés est le signal d’arrêt : il faut revenir à la géométrie de la figure au lieu d’injecter ses quatre longueurs dans la formule convexe.

Sur un dessin mesuré, une somme d’angles voisine de 180° ou deux produits voisins ne constituent pas une égalité exacte. Concluez seulement dans les limites de l’incertitude annoncée, ou utilisez une démonstration géométrique.

Le théorème de Ptolémée approfondit l’identité qui relie les quatre côtés et les deux diagonales.

La formule de Brahmagupta détaille le calcul de l’aire à partir des côtés et du demi-périmètre.

Les Angles supplémentaires précisent le critère angulaire employé dans le cas convexe.

Le quadrilatère convexe aide à reconnaître le domaine commun aux critères et à la formule d’aire présentés ici.