quadrilatère convexe

Tracez un quadrilatère sur une feuille, puis prolongez chacun de ses côtés en une droite. Si, à chaque fois, toute la figure reste du même côté de cette droite, le quadrilatère est convexe. Aucun sommet ne forme de creux vers l’intérieur.

Une autre image aide à le reconnaître : reliez deux points quelconques de la figure. Le segment qui les joint ne sort jamais du quadrilatère.

Un quadrilatère convexe est un polygone simple à quatre sommets dont l’intérieur est un ensemble convexe : pour deux points quelconques du quadrilatère, le segment qui les relie y reste entièrement contenu. De façon équivalente, pour chaque côté, les deux autres sommets appartiennent au même demi-plan fermé délimité par la droite qui porte ce côté. Dans la convention usuelle d’un quadrilatère non dégénéré, les quatre angles intérieurs sont strictement inférieurs à 180° et les deux diagonales sont contenues dans la figure.

Pour des sommets A, B, C et D parcourus dans cet ordre, la convexité stricte peut aussi se tester par les orientations successives. Pour trois points P, Q et R, le déterminant d’orientation est $\mathrm{orient}(P,Q,R)=(x_Q-x_P)(y_R-y_P)-(y_Q-y_P)(x_R-x_P)\backslash operatorname\{orient\}(P,Q,R)=(x\_Q-x\_P)(y\_R-y\_P)-(y\_Q-y\_P)(x\_R-x\_P)$. Si les quatre valeurs obtenues pour (A, B, C), (B, C, D), (C, D, A) et (D, A, B) sont toutes non nulles et de même signe, le quadrilatère simple est strictement convexe. Le signe dépend seulement du sens de parcours.

On considère, dans un repère orthonormé, les sommets A(0, 0), B(5, 0), C(4, 3) et D(1, 4), reliés dans cet ordre. Les données sont donc les quatre couples de coordonnées et l’ordre A–B–C–D.

1. Calculez l’orientation de A, B et C : $\mathrm{orient}(A,B,C)=5\times 3-0\times 4=15\backslash operatorname\{orient\}(A,B,C)=5\backslash times3-0\backslash times4=15$.

2. Poursuivez aux trois autres sommets : $\mathrm{orient}(B,C,D)=(-1)\times 4-3\times (-4)=-4+12=8\backslash operatorname\{orient\}(B,C,D)=(-1)\backslash times4-3\backslash times(-4)=-4+12=8$, $\mathrm{orient}(C,D,A)=(-3)\times (-3)-1\times (-4)=9+4=13\backslash operatorname\{orient\}(C,D,A)=(-3)\backslash times(-3)-1\backslash times(-4)=9+4=13$ et $\mathrm{orient}(D,A,B)=(-1)\times (-4)-(-4)\times 4=4+16=20\backslash operatorname\{orient\}(D,A,B)=(-1)\backslash times(-4)-(-4)\backslash times4=4+16=20$.

3. Les quatre valeurs sont strictement positives. Chaque virage se fait donc dans le même sens et aucun triplet de sommets consécutifs n’est aligné. Le quadrilatère ABCD est strictement convexe.

Le contrôle géométrique donne le même verdict : pour chaque droite supportant un côté, les deux sommets restants sont dans le même demi-plan. En particulier, C et D ont des ordonnées positives et sont du même côté de la droite (AB), d’équation y = 0.

Dans une construction géométrique, prolonger les côtés permet de contrôler visuellement la convexité. Si les deux sommets opposés à un côté apparaissent de part et d’autre de sa droite support, il faut revoir l’ordre des sommets ou reconnaître une figure non convexe.

Avec des coordonnées, le test des quatre orientations remplace une appréciation à l’œil. Il est préférable lorsque le dessin est peu précis : quatre signes identiques certifient la convexité stricte, tandis qu’une valeur nulle signale un alignement à examiner.

Pour découper un quadrilatère convexe en triangles, l’une ou l’autre diagonale convient, car chacune reste à l’intérieur. Dans un quadrilatère concave, une seule diagonale possède cette propriété ; ce critère observable guide le choix.

Un quadrilatère concave est simple, mais possède un creux : un de ses angles intérieurs dépasse 180°. La droite portant un côté peut alors laisser les deux autres sommets dans des demi-plans opposés.

Un quadrilatère croisé n’est pas un polygone simple : deux côtés non consécutifs se coupent. Le nœud central d’un « papillon » le distingue immédiatement d’un quadrilatère convexe, dont seuls les côtés consécutifs ont un sommet commun.

Un dessin qui semble bombé ne suffit pas. Une déformation minime peut placer un sommet de l’autre côté d’une droite support ; il faut alors vérifier les demi-plans ou les signes des orientations.

Si trois sommets consécutifs sont alignés, une orientation vaut 0 et un angle atteint 180°. Certaines définitions larges parlent encore de convexité au sens non strict, mais la convention usuelle du quadrilatère non dégénéré exclut ce cas. Il faut donc annoncer la convention retenue.

Quatre points en position convexe ne déterminent pas un quadrilatère convexe dans n’importe quel ordre. Un ordre qui alterne des sommets opposés produit des côtés croisés. Il faut d’abord parcourir le contour, puis appliquer le critère d’orientation.

Des orientations toutes de même signe certifient la convexité stricte seulement lorsque les sommets sont pris dans l’ordre du contour et que les côtés forment un polygone simple. Sans cette hypothèse, le calcul doit être précédé d’un contrôle des intersections de côtés.

Le glossaire quadrilatère replace la convexité parmi les propriétés possibles des figures à quatre côtés.

Le concept de convexité étend le critère des segments contenus à d’autres ensembles géométriques.

La fiche Diagonale précise le rôle des segments joignant deux sommets non consécutifs.