utilisation d'une planche à clous

Imaginez 25 pointes rangées en cinq lignes et cinq colonnes sur une planche carrée. Un élastique accroché à plusieurs pointes dessine aussitôt des côtés droits. En changeant un seul point d'accrochage, on voit la figure se transformer.

Ce support, appelé planche à clous ou géoplan, rend la géométrie manipulable. Il aide à créer ou reproduire des segments, des triangles et des polygones, puis à observer leurs propriétés.

La planche à clous, ou géoplan, est un support didactique de géométrie plane inventé par Caleb Gattegno. Le modèle décrit est une planche carrée en bois de 30 cm de côté. Ses 25 pointes forment un réseau régulier de cinq lignes et cinq colonnes, donc 16 carrés isométriques organisés en 4 × 4.

Un élastique tendu entre deux pointes matérialise un segment. En le faisant passer par des pointes distinctes pour former un contour fermé non dégénéré, avec au moins trois sommets non alignés, on construit un triangle ou un autre polygone. Sans fermeture, on obtient une ligne brisée ; si tous les sommets sont alignés, le tracé est dégénéré. L'ordre dans lequel l'élastique relie les pointes détermine les côtés et peut produire une figure convexe ou concave.

De la maternelle au secondaire, le géoplan sert à la création libre, à la reproduction d'un modèle, à la reconnaissance et à la classification des figures usuelles. Il permet aussi de mettre en évidence la convexité et d'étudier des transformations géométriques, notamment les isométries.

On utilise les 25 pointes comme un quadrillage de cinq lignes et cinq colonnes. Les données sont quatre coins nommés A, B, E et D, ainsi qu'une pointe intérieure nommée C. A et B sont les coins inférieurs, D et E les coins supérieurs, et C se trouve une colonne à droite de A et deux lignes plus haut.

1. Tendez l'élastique dans l'ordre A–B–C–D–A. Le sommet C forme un creux dirigé vers l'intérieur : le quadrilatère est concave.
2. Reproduisez le contour en remplaçant C par le coin E : l'ordre devient A–B–E–D–A.
3. Observez le nouveau contour. Aucun sommet ne forme de creux : ce second quadrilatère est convexe.
4. Contrôlez la reproduction en comptant quatre intervalles de réseau sur chacun des quatre côtés du contour A–B–E–D–A.

Le déplacement d'un seul point d'accrochage suffit donc à changer la classification de la figure. La comparaison reste vérifiable en replaçant successivement l'élastique sur C puis sur E.

Pour une création libre, l'élève choisit des pointes et ferme un contour avec un élastique. Si l'objectif est de travailler un vocabulaire précis, une figure imposée est préférable : le nombre de sommets et la forme attendue deviennent observables.

Pour reproduire une figure, on compte les déplacements de colonne en colonne et de ligne en ligne entre deux sommets. Ce repérage est plus fiable qu'une comparaison à l'œil lorsque deux contours se ressemblent.

Pour classer des polygones, on déplace un sommet sans changer les autres. Le contour obtenu montre directement si un creux apparaît, comme lorsque le coin E du quadrilatère est remplacé par la pointe C.

Pour étudier une isométrie, on construit une figure puis son image sur le même réseau. Le comptage des intervalles entre pointes permet de comparer les longueurs correspondantes.

Le géoplan et la figure construite. Le géoplan est le support formé par la planche, les pointes et leur réseau. Le triangle ou le quadrilatère est le contour temporaire dessiné par l'élastique. Retirer l'élastique efface la figure, pas le géoplan.

Le réseau de points et le quadrillage. Les pointes sont les positions disponibles pour les sommets. Les 16 petits carrés décrivent l'organisation régulière de ces positions ; leurs côtés ne sont pas tous des côtés de la figure construite.

Un contour non fermé n'est pas un polygone. Si l'élastique ne revient pas à la pointe de départ, il matérialise une ligne brisée. Il faut fermer le dernier côté avant de classer la figure.

L'ordre des sommets compte. Les mêmes pointes reliées dans un autre ordre peuvent donner un autre contour, voire des côtés qui se croisent. Il faut annoncer et suivre un ordre unique autour du contour.

Le réseau limite les sommets. Sur le modèle à 25 pointes, un sommet ne peut être placé qu'à l'une de ces 25 positions. Une figure dont un sommet tombe entre deux pointes ne peut donc pas être reproduite exactement sur ce support.

L'élastique montre des segments. Une portion tendue entre deux pointes est droite. Pour étudier une courbe, il faut employer un autre tracé ou accepter une approximation par plusieurs segments, clairement présentée comme telle.

La fiche concept de convexité précise le critère mathématique qui distingue un contour convexe d'un contour comportant un creux.