quadrilatère non croisé

Tracez quatre points A, B, C et D, puis reliez-les dans cet ordre avant de revenir à A. Si les côtés non consécutifs n’ont aucun point commun et si deux côtés consécutifs se rejoignent seulement au sommet qu’ils partagent, le quadrilatère est non croisé : aucun côté ne se superpose à un autre. Il peut bomber vers l’extérieur, comme un rectangle, ou présenter un creux. Dans le second cas, il reste non croisé : le creux le rend concave.

Un quadrilatère ABCD est formé par quatre sommets distincts reliés dans l’ordre par les côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. Il est non croisé lorsque deux côtés non consécutifs n’ont aucun point commun : [AB] ne rencontre pas [CD], et [BC] ne rencontre pas [DA]. Deux côtés consécutifs ont pour seul point commun le sommet qu’ils partagent : ils ne se superposent donc pas.

Dans le cadre usuel d’un quadrilatère non dégénéré, ce contour simple sépare un intérieur d’un extérieur. S’il ne présente aucun creux, le quadrilatère est convexe : chacun de ses angles intérieurs est inférieur à 180°. S’il présente un creux, il est concave : un de ses angles intérieurs est supérieur à 180°. Ces deux formes sont non croisées.

La propriété dépend de l’ordre dans lequel les mêmes points sont reliés. Changer cet ordre peut transformer un contour non croisé en quadrilatère croisé.

On considère les points A(1 ; 1), B(6 ; 1), C(3 ; 2) et D(1 ; 4), reliés dans cet ordre. Il faut vérifier que les côtés opposés ne se rencontrent pas, puis déterminer la forme du quadrilatère.

1. Le côté [AB] est situé sur la droite horizontale d’ordonnée 1. Tous les points de [CD] ont une ordonnée comprise entre 2 et 4. Les segments [AB] et [CD] ne se rencontrent donc pas.

2. Le côté [DA] est situé sur la droite verticale d’abscisse 1. Tous les points de [BC] ont une abscisse comprise entre 3 et 6. Les segments [BC] et [DA] ne se rencontrent donc pas.

3. Les deux paires de côtés non consécutifs sont disjointes. Le quadrilatère ABCD est donc non croisé.

4. Le sommet C se trouve à l’intérieur du triangle ABD. Le contour rentre vers C avant de repartir vers D : ABCD est concave, et non convexe.

Contrôle. En suivant les sommets dans l’ordre A, B, C, D puis A, le contour se ferme sans traversée. Le creux au sommet C montre aussi que « non croisé » ne signifie pas nécessairement « convexe ».

Pour reconnaître un quadrilatère sur un dessin, suivez son contour dans l’ordre des sommets. Si deux côtés opposés se traversent, choisissez « croisé » ; sinon, le quadrilatère est non croisé, sous réserve qu’aucun côté ne se superpose à un autre.

Avec des coordonnées, examinez seulement les deux paires de côtés non consécutifs. Un test d’intersection de segments donne un verdict fiable lorsque le dessin est trop petit ou trompeur.

Une fois l’absence de croisement établie, repérez un éventuel creux. Sans creux, la catégorie utile est « convexe » ; avec un angle intérieur supérieur à 180°, elle est « concave ».

Avec un quadrilatère croisé. Dans un quadrilatère croisé, deux côtés non consécutifs se rencontrent en un point qui n’est pas un sommet. Un contour en nœud papillon est croisé ; le contour ABCD de l’exemple ne l’est pas.

Avec un quadrilatère convexe. Tout quadrilatère convexe est non croisé, mais la réciproque est fausse. Le quadrilatère ABCD de l’exemple possède un creux au sommet C : il est concave tout en restant non croisé.

Un contact suffit. Si deux côtés non consécutifs se touchent, même sans se traverser franchement, ils ont un point commun. Le quadrilatère ne satisfait plus la définition stricte ; il faut signaler cette configuration limite au lieu de la classer d’après l’apparence.

Des côtés superposés forment un cas dégénéré. Lorsque deux côtés partagent tout un segment, leur intersection ne se réduit pas aux extrémités autorisées. Il faut traiter la dégénérescence avant d’employer la classification convexe ou concave.

Trois sommets alignés brouillent la classification. Un angle intérieur peut alors valoir exactement 180°. La dichotomie usuelle « convexe ou concave » suppose un quadrilatère non dégénéré ; il faut annoncer l’alignement plutôt que forcer l’une des deux catégories.

L’ordre des sommets est une donnée. Quatre mêmes points peuvent produire plusieurs contours. Il faut tester les segments correspondant à l’ordre réellement donné, et non se fier au nuage de points seul.

quadrilatère — Replace le contour à quatre côtés dans la famille générale et son vocabulaire.

quadrilatère convexe — Précise le cas sans creux parmi les quadrilatères non croisés.

quadrilatère croisé — Étudie la configuration opposée, où deux côtés non consécutifs se rencontrent.