parallélogramme de Varignon

Prenez une feuille et dessinez un quadrilatère, même irrégulier. Marquez le milieu de chacun de ses quatre côtés, puis reliez ces quatre points dans l'ordre. Les côtés du nouveau quadrilatère se retrouvent deux à deux parallèles : il forme donc un parallélogramme, éventuellement dégénéré ou aplati. Cette construction fonctionne aussi si le quadrilatère de départ est creusé ou si ses côtés se croisent.

Soit un quadrilatère ABCD, dont les sommets sont parcourus dans l'ordre. On note E, F, G et H les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]. Le quadrilatère EFGH est le parallélogramme de Varignon associé à ABCD.

La propriété vaut pour tout quadrilatère dont les côtés consécutifs permettent de définir ces milieux : il peut être convexe, concave ou croisé. Dans les triangles ABC et ADC, le segment qui joint deux milieux est parallèle au troisième côté. Ainsi EF est parallèle à AC, tandis que HG l'est aussi ; de même, FG et EH sont parallèles à BD. Les côtés opposés de EFGH sont donc parallèles deux à deux.

Le cas particulier mentionné ici correspond à k = 1/2 dans la construction barycentrique plus générale du parallélogramme de Wittenbauer. Le parallélogramme obtenu peut être aplati si le quadrilatère de départ est dégénéré ; la propriété de parallélisme reste alors à interpréter avec cette réserve.

Considérons le quadrilatère ABCD de sommets A(0, 0), B(6, 0), C(8, 4) et D(1, 5), dans un repère où les deux coordonnées sont exprimées dans la même unité. Les sommets sont pris dans l'ordre autour du contour.

Le milieu d'un segment se calcule en faisant la moyenne de ses deux extrémités. On obtient donc E, milieu de [AB], F, milieu de [BC], G, milieu de [CD], et H, milieu de [DA] :

Pour vérifier la conclusion sans mesurer la figure, comparons les vecteurs des côtés opposés. Le vecteur EF va de E vers F, et le vecteur HG va de H vers G ; le vecteur EH va de E vers H, et le vecteur FG va de F vers G.

Les côtés opposés ont donc à la fois la même direction et la même longueur. EFGH est bien le parallélogramme de Varignon associé à ABCD.

Pour construire le parallélogramme de Varignon, commencez par repérer précisément le milieu de chaque côté du quadrilatère. Reliez ensuite les milieux de deux côtés voisins, en suivant le contour. La vérification la plus sûre consiste à comparer les directions des côtés opposés, ou leurs vecteurs si un repère est disponible.

Cette construction donne une manière rapide d'obtenir un parallélogramme à partir d'une forme quelconque. Elle sert aussi de contrôle graphique : si les quatre milieux ont été placés correctement, les deux paires de côtés opposés du quadrilatère intérieur sont parallèles.

Le parallélogramme de Varignon n'est pas le quadrilatère de départ. Il est formé par les quatre milieux des côtés de celui-ci. Il ne faut pas non plus confondre cette propriété avec l'affirmation, fausse en général, selon laquelle les diagonales du quadrilatère initial seraient parallèles aux côtés du quadrilatère initial.

Dans la démonstration, chaque côté du parallélogramme intérieur est parallèle à une diagonale du quadrilatère extérieur : EF et HG sont parallèles à AC, tandis que FG et EH sont parallèles à BD. Cette relation concerne les deux quadrilatères différents.

La formulation « tout quadrilatère » inclut les quadrilatères concaves et croisés, à condition de conserver l'ordre des quatre côtés et de prendre leurs milieux. Pour un quadrilatère croisé non dégénéré, le quadrilatère des milieux reste un parallélogramme simple ; les parallélismes se déduisent toujours des triangles associés aux diagonales.

Un cas dégénéré demande une nuance. Si l'aire algébrique du quadrilatère ABCD est nulle, le quadrilatère des milieux a une aire nulle. Il reste alors pertinent de parler de côtés parallèles ou de vecteurs colinéaires, mais il ne s'agit plus d'un parallélogramme non dégénéré au sens usuel.

La propriété ne dépend ni de la forme apparente ni de la convexité. En revanche, elle dépend du choix des milieux : remplacer un milieu par un point quelconque du côté relève d'une construction différente et ne garantit plus un parallélogramme.

La construction se comprend aussi avec les vecteurs. Si E et G sont les milieux de [AB] et [CD], et F et H ceux de [BC] et [DA], les différences de coordonnées donnent directement EF = HG et EH = FG. Le parallélogramme de Varignon traduit ainsi une annulation des contributions opposées des quatre sommets.

Cette lecture vectorielle prépare l'étude du parallélogramme de Wittenbauer, qui élargit la construction en remplaçant les milieux par des barycentres dépendant d'un paramètre. Le cas de Varignon est obtenu lorsque ce paramètre vaut k = 1/2.