théorème de van Aubel

Dessinez un quadrilatère convexe, puis ajoutez un carré vers l’extérieur sur chacun de ses quatre côtés. Marquez le centre de chaque carré. Reliez ensuite les centres placés sur deux côtés opposés, puis les deux autres centres. Même si le quadrilatère de départ paraît irrégulier, les deux segments obtenus ont exactement la même longueur et se rencontrent à angle droit.

Le théorème de van Aubel relie une construction faite sur les côtés d’un quadrilatère à une propriété de deux segments. On considère un quadrilatère convexe ABCD. Sur chacun de ses côtés AB, BC, CD et DA, on construit extérieurement un carré. Les centres de ces carrés sont nommés respectivement M, N, O et P.

Le segment MO joint les centres des carrés portés par les côtés opposés AB et CD. Le segment NP joint ceux des carrés portés par les côtés opposés BC et DA. Le théorème affirme simultanément que MO et NP ont la même longueur et qu’ils sont perpendiculaires. Ces deux propriétés ne suffisent pas à faire de MNOP un carré : il faudrait aussi que les diagonales MO et NP se coupent en leur milieu, ce qui n’est pas garanti. La construction porte sur les carrés extérieurs complets, et non sur leurs sommets libres.

Si quatre carrés sont construits extérieurement sur les côtés successifs AB, BC, CD et DA d’un quadrilatère convexe, et si leurs centres respectifs sont M, N, O et P, alors les segments MO et NP sont perpendiculaires et de même longueur. En notant les vecteurs portés par ces segments, la conclusion s’écrit :

Le point de départ est un quadrilatère euclidien convexe dont les côtés sont pris dans leur ordre : AB, BC, CD puis DA. Chaque carré doit avoir exactement l’un de ces côtés pour côté et être construit extérieurement. Il faut enfin relier les centres de carrés opposés : M à O et N à P.

Si un carré est tracé de l’autre côté de son segment tandis que les trois autres suivent la construction extérieure, les quatre centres ne correspondent plus aux hypothèses. On ne peut alors pas invoquer le théorème ; il faut reconstruire ce carré du côté requis avant de comparer les deux segments.

Considérons le quadrilatère dont les sommets sont A(0 ; 0), B(4 ; 0), C(5 ; 2) et D(0 ; 3). Les carrés sont construits extérieurement. Leurs centres sont M(2 ; −2), N(11/2 ; 1/2), O(3 ; 5) et P(−3/2 ; 3/2). La figure rend visibles cette construction et les deux segments à comparer.

1. On soustrait les coordonnées de M à celles de O, puis celles de N à celles de P.
2. Les deux vecteurs obtenus sont :3. Leur produit scalaire vaut 1 × (−7) + 7 × 1 = 0 : les segments sont perpendiculaires.
4. Le carré de chaque longueur vaut 1² + 7² = 50. Ainsi, MO = NP = √50, soit environ 7,07 unités. Refaire ces deux calculs constitue un contrôle indépendant des deux conclusions.

Dans une construction géométrique, le théorème donne un contrôle rapide : après avoir placé les quatre centres, on compare seulement MO et NP. Si l’angle n’est pas droit ou si les longueurs diffèrent au-delà de la précision du tracé, il faut vérifier le côté choisi pour chaque carré et le placement des centres.

Avec des coordonnées, le produit scalaire contrôle la perpendicularité et les carrés des normes contrôlent l’égalité des longueurs. Cette vérification algébrique est préférable à une mesure à la règle et au rapporteur lorsque l’on cherche une conclusion exacte plutôt qu’une confirmation graphique.

Pour expliquer le mécanisme, on peut aussi suivre les quarts de tour qui transforment chaque côté du quadrilatère en côté de carré. Cette approche met en évidence l’origine commune des deux conclusions.

Le théorème de van Aubel ne doit pas être confondu avec le théorème de Varignon. Van Aubel part de quatre carrés construits sur les côtés et compare les segments joignant leurs centres opposés. Varignon part des milieux des côtés d’un quadrilatère. Dans une figure sans carrés extérieurs, ce n’est donc pas la construction de van Aubel.

Des segments MO et NP perpendiculaires et de même longueur ne sont pas nécessairement les diagonales d’un carré. Dans l’exemple, le milieu de MO est (5/2 ; 3/2), tandis que celui de NP est (2 ; 1). Les milieux diffèrent : MNOP n’est donc pas un carré, malgré les deux conclusions du théorème.

Pour un quadrilatère concave ou croisé, l’impression visuelle d’« extérieur » peut devenir ambiguë. Choisir séparément le côté de chaque carré à l’œil risque de mélanger les orientations. Il faut conserver l’ordre des côtés et une convention de construction cohérente avant d’identifier M, N, O et P.

Sur un dessin ou dans un logiciel arrondissant les coordonnées, les deux longueurs peuvent sembler légèrement différentes et l’angle légèrement éloigné de 90°. Le verdict doit alors tenir compte de la précision du tracé ; un calcul exact sur les coordonnées tranche lorsque celles-ci sont disponibles.

La fiche quadrilatère précise l’objet de départ et ses principales configurations. La rotation vectorielle éclaire le rôle des quarts de tour produits par les carrés. Le théorème de Varignon offre enfin un autre résultat général construit à partir des quatre côtés d’un quadrilatère.