théorème d'Urquhart

Imaginez un quadrilatère convexe ABCD, puis prolongez ses côtés opposés jusqu'à leurs croisements. Les deux chemins qui vont de A à C, par B ou par D, ont la même longueur totale lorsque $AB+BC=AD+DCAB+BC=AD+DC$. Le théorème d'Urquhart dit alors que les deux chemins reliant les croisements opposés E et F aux sommets A et C ont eux aussi la même longueur totale. La symétrie porte donc sur les côtés du quadrilatère, puis sur les deux intersections extérieures.

Le théorème d'Urquhart est un résultat métrique de géométrie euclidienne consacré à un quadrilatère convexe ABCD. Les droites (AB) et (CD) se coupent en E, tandis que les droites (AD) et (BC) se coupent en F. Les lettres E et F désignent donc les deux intersections de côtés opposés prolongés, qui peuvent être extérieures au quadrilatère.

La condition porte sur les longueurs des côtés : la somme AB + BC doit être égale à la somme AD + DC. Lorsque cette égalité est satisfaite, la conclusion compare les distances depuis les deux intersections : AE + EC est alors égal à AF + FC. Il s'agit d'une égalité de longueurs, et non d'une égalité entre les segments orientés des droites. La convexité et l'existence des deux intersections distinctes font partie du cadre annoncé par l'énoncé.

Soit ABCD un quadrilatère convexe. Si E est l'intersection des droites (AB) et (CD), si F est l'intersection des droites (AD) et (BC), et si les longueurs vérifient $AB+BC=AD+DCAB+BC=AD+DC$, alors les distances vérifient $AE+EC=AF+FCAE+EC=AF+FC$. Le résultat relie ainsi deux sommes de côtés à deux sommes de distances vers les intersections opposées.

Le cadre est celui de la géométrie euclidienne plane. Les quatre points A, B, C et D forment un quadrilatère convexe, les droites (AB) et (CD) se coupent en E, et les droites (AD) et (BC) se coupent en F. Il faut ensuite vérifier l'égalité des longueurs $AB+BC=AD+DCAB+BC=AD+DC$.

Un quadrilatère non convexe ou une configuration dans laquelle deux droites opposées sont parallèles ne relève pas directement de cet énoncé : E ou F n'existe alors pas comme point fini dans le plan. Il faut employer une formulation adaptée aux quadrilatères croisés, aux parallèles ou aux longueurs orientées, au lieu d'appliquer automatiquement la conclusion.

Considérons le quadrilatère convexe de sommets A=(0,0), B=(3,4), C=(10,0) et D=(3,-4), dans un repère orthonormé. Les données utiles sont AB=AD=5 et BC=DC=√65. Les intersections E et F sont celles des côtés opposés prolongés.

On obtient AB + BC = 5 + √65 et AD + DC = 5 + √65.
Pour retrouver E, les équations des droites (AB) et (CD) sont respectivement y=4x/3 et y=4(x-10)/7 ; leur résolution donne x=-15/2 et y=-10, donc E=(-15/2,-10).
Ensuite, AE=√((15/2)²+10²)=25/2 et EC=√((35/2)²+10²)=5√65/2, d'où AE + EC = (25+5√65)/2.
Par symétrie autour de l'axe horizontal, F=(-15/2,10), AF=25/2 et FC=5√65/2.
Ainsi AF + FC = (25+5√65)/2, ce qui contrôle la conclusion du théorème.

Dans un problème de géométrie, on peut utiliser ce théorème lorsqu'un quadrilatère convexe est donné avec ses côtés et que deux côtés opposés se prolongent naturellement jusqu'à deux intersections. Le geste consiste à calculer les deux sommes de côtés avant de chercher une relation plus complexe.

Si les sommes AB + BC et AD + DC sont égales, la relation entre AE + EC et AF + FC fournit un contrôle indépendant d'un calcul de distances. Si elles ne le sont pas, le critère ne permet pas de conclure ; une autre propriété métrique doit être recherchée.

Le théorème d'Urquhart ne dit pas que tous les quadrilatères ont des sommes de côtés opposés égales. Cette égalité est une hypothèse à vérifier. Un rectangle de côtés 3 et 4 la vérifie par symétrie, mais un quadrilatère dont les quatre côtés mesurent 2, 3, 4 et 5 ne la vérifie pas automatiquement : l'ordre des côtés doit être pris en compte.

Il ne s'agit pas non plus d'une propriété des diagonales. Les points E et F proviennent des intersections de droites portant des côtés opposés, tandis qu'une diagonale relie deux sommets du quadrilatère. Ce critère géométrique suffit à trancher les deux notions.

Le premier piège est de remplacer les droites par les segments. Dans l'exemple, E et F ont une abscisse -15/2, donc ils sont extérieurs au quadrilatère : le dessin doit prolonger les côtés opposés. Si un point d'intersection manque parce que les droites sont parallèles, l'énoncé ne s'applique pas directement.

Le second piège concerne la convexité. Un quadrilatère croisé peut présenter les mêmes noms de sommets et des intersections, mais il ne satisfait pas le cadre annoncé. Il faut alors vérifier une version adaptée avant de conserver la conclusion, au lieu de traiter la configuration comme convexe.

Pour prolonger l'étude, on peut reprendre la figure dans un repère et vérifier séparément les longueurs de côtés, les intersections de droites et les distances obtenues. Cette lecture coordonnée met en évidence le caractère purement métrique du théorème : aucune mesure d'angle n'est nécessaire pour contrôler l'égalité finale. Le résultat a été démontré en 1964 par le mathématicien australien Urquhart (1902-1966), et sa formulation est remarquable par sa symétrie.