GéométrieFormule · Glossaire
formule de Ptolémée
La formule de Ptolémée s’applique à un quadrilatère convexe dont les quatre sommets sont inscrits sur un même cercle et considérés dans leur ordre autour du cercle. Elle affirme que le produit des longueurs des diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés deux à deux. Elle permet notamment de calculer une longueur inconnue lorsque les autres sont connues.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses de la formule et lire chaque longueur dans l’égalité.
- Calculer une diagonale dans un rectangle 3 × 4 et contrôler le résultat.
- Utiliser la réciproque comme critère d’inscriptibilité d’un quadrilatère convexe.
- Distinguer la formule de Ptolémée du théorème de Pythagore.
En clair
Imaginez un rectangle de côtés 3 et 4 tracé dans un cercle. Ses deux diagonales se croisent et mesurent chacune 5. La formule de Ptolémée met en balance ces deux diagonales avec les quatre côtés : le produit 5 × 5 vaut la somme 4 × 4 + 3 × 3.
Cette égalité ne vient pas de la forme seule du quadrilatère. Elle exprime le fait décisif que ses quatre sommets appartiennent à un même cercle.
Définition
La formule de Ptolémée est un théorème de géométrie euclidienne pour les quadrilatères cycliques. Un quadrilatère cyclique est ici un quadrilatère convexe dont les quatre sommets appartiennent à un même cercle. On nomme ces sommets A, B, C et D dans leur ordre sur le cercle. Les longueurs AB, BC, CD et AD sont celles des côtés ; les longueurs AC et BD sont celles des diagonales.
Dans ces conditions, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés : . La relation permet de calculer une longueur inconnue quand les cinq autres sont connues.
La réciproque fait aussi de l’égalité un critère : si un quadrilatère convexe vérifie cette relation, alors il est inscriptible dans un cercle. Dans le cas particulier d’un rectangle, elle conduit à l’identité liée à l’égalité de ses deux diagonales.
Le principe
Soit ABCD un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, avec A, B, C et D rangés dans cet ordre sur le cercle. Si AC et BD désignent les longueurs des diagonales, tandis que AB, BC, CD et AD désignent celles des côtés, alors :
Réciproquement, tout quadrilatère convexe qui satisfait cette égalité est inscriptible dans un cercle.
Quand l'utiliser
La formule directe demande un quadrilatère convexe et cyclique : ses quatre sommets doivent se trouver sur un même cercle. Leur ordre A, B, C, D autour du cercle fixe quels segments sont les côtés et quels segments sont les diagonales. Pour calculer une longueur, les cinq autres longueurs nécessaires doivent être connues et le facteur par lequel on divise doit être non nul.
Un quadrilatère convexe quelconque dont les sommets ne sont pas établis sur un même cercle constitue un contre-cas : on ne peut pas lui appliquer d’emblée l’égalité. On peut toutefois calculer les deux membres ; s’ils sont égaux, la réciproque établit que le quadrilatère est inscriptible.
Un exemple, pas à pas
Considérons le rectangle ABCD représenté dans son cercle. Ses sommets suivent l’ordre A, B, C, D. Les données sont AB = CD = 4, BC = AD = 3 et AC = 5. On cherche la longueur de l’autre diagonale BD.
1. La formule de Ptolémée donne .
2. Le membre de droite vaut exactement 16 + 9 = 25.
3. Comme 5 n’est pas nul, la division donne BD = 25 ÷ 5 = 5.
4. Le contrôle refaisable est 5 × 5 = 4 × 4 + 3 × 3, soit 25 = 25.
2. Le membre de droite vaut exactement 16 + 9 = 25.
3. Comme 5 n’est pas nul, la division donne BD = 25 ÷ 5 = 5.
4. Le contrôle refaisable est 5 × 5 = 4 × 4 + 3 × 3, soit 25 = 25.
La diagonale BD mesure donc exactement 5, comme la diagonale AC. Le dessin rend visibles le cercle commun aux quatre sommets, les côtés opposés et les deux diagonales concernées par l’égalité.
En pratique
Pour calculer une diagonale d’un quadrilatère cyclique, on isole la longueur cherchée dans la formule après avoir relevé les quatre côtés et l’autre diagonale. Si la figure se réduit à un seul triangle rectangle, le théorème de Pythagore est l’outil plus direct.
Pour décider si un quadrilatère convexe est inscriptible, on compare le produit de ses diagonales à la somme des deux produits de côtés opposés. L’égalité exacte donne le verdict par la réciproque ; avec des mesures, on tient compte de leur précision.
Dans l’Almageste, Claudius Ptolémée a employé ce résultat pour construire des tables de cordes destinées au calcul trigonométrique. L’usage historique porte donc sur des longueurs de cordes dans un cercle, pas sur une simple recette isolée.
À ne pas confondre
Formule de Ptolémée et théorème de Pythagore. La première relie six longueurs dans un quadrilatère cyclique ; le second relie trois côtés dans un triangle rectangle. Dans le rectangle 3 × 4, les deux démarches peuvent faire apparaître la longueur 5, mais elles ne portent pas sur la même figure ni sur la même relation.
Quadrilatère inscrit et cercle inscrit. Ici, les sommets du quadrilatère sont sur le cercle : le cercle est circonscrit au quadrilatère. Un cercle inscrit dans une figure répond à une autre configuration. Le test concret consiste donc à regarder si ce sont les sommets, et non les côtés, qui rencontrent le cercle.
Limites et pièges
Cyclicité non établie. Une ressemblance avec un quadrilatère inscrit ne suffit pas. Si les quatre sommets ne sont pas connus sur un même cercle, il faut vérifier l’égalité avant d’utiliser la réciproque ; sinon, la formule directe n’est pas justifiée.
Ordre des sommets. La notation A, B, C, D suit le tour du cercle. Un ordre différent peut faire prendre une diagonale pour un côté et associer les mauvais produits. Il faut d’abord rétablir l’ordre circulaire, puis identifier AC et BD comme diagonales.
Valeurs mesurées. Avec les données exactes 3, 4 et 5 de l’exemple, les deux membres valent exactement 25. Sur un dessin mesuré, de petits écarts peuvent venir des arrondis ou de l’instrument ; on compare alors l’écart à la précision disponible au lieu d’exiger une égalité décimale parfaite.
Pour aller plus loin
La fiche quadrilatère permet de revoir précisément les côtés, sommets et diagonales mobilisés par la formule de Ptolémée.
Le théorème de Pythagore éclaire le cas du rectangle 3 × 4 : chaque diagonale y est l’hypoténuse d’un triangle rectangle et mesure 5.
Le cercle inscrit aide à distinguer deux positions inverses entre cercle et polygone. Sur un plan plus théorique, la formule de Ptolémée admet des démonstrations par la géométrie projective ou les nombres complexes.
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