quadrilatère circonscriptible

Imaginez un cercle posé à l’intérieur d’un quadrilatère. Si chacun des quatre côtés vient juste toucher ce cercle, sans le couper, le quadrilatère est circonscriptible. Le cercle joue alors le rôle d’un gabarit commun aux quatre côtés.

Depuis un même sommet, les deux petits segments qui rejoignent les points de contact ont la même longueur. En regroupant ces segments, on comprend pourquoi les sommes de deux côtés opposés sont égales. Cette égalité est un contrôle utile, mais elle ne suffit pas, à elle seule, à garantir qu’un quadrilatère déjà tracé possède un cercle inscrit.

Un quadrilatère convexe ABCD est circonscriptible lorsqu’il existe un cercle intérieur tangent aux quatre segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. Son centre est à égale distance des quatre droites portant les côtés. Il appartient donc aux quatre bissectrices intérieures du quadrilatère. Les perpendiculaires menées du centre aux côtés aboutissent aux quatre points de tangence.

On note a la longueur AB, b la longueur BC, c la longueur CD et d la longueur DA. Deux segments tangents à un même cercle issus d’un même sommet ont la même longueur. En additionnant ces quatre paires de segments, on obtient la relation de Pitot : $a+c=b+da+c=b+d$. Cette relation est nécessaire pour tout quadrilatère circonscriptible.

Pour un quadrilatère donné, la relation de Pitot n’est pas suffisante. Il faut encore établir l’existence d’un point intérieur situé à une même distance positive des quatre droites, avec des pieds de perpendiculaires placés sur les côtés. Lorsque ce point existe, il est le centre du cercle inscrit et la distance commune en est le rayon.

Considérons le trapèze isocèle convexe ABCD dont les sommets, dans l’ordre, sont A(−4 ; −2), B(4 ; −2), C(1 ; 2) et D(−1 ; 2), dans un repère orthonormé.

Les données sont AB = 8, CD = 2 et la hauteur vaut 4. Chaque côté oblique avance de 3 unités horizontalement et de 4 unités verticalement.

1. Par le théorème de Pythagore, BC = DA = √(3² + 4²) = 5.

2. Les sommes opposées sont AB + CD = 8 + 2 = 10 et BC + DA = 5 + 5 = 10. La relation de Pitot est vérifiée.

3. Le point O(0 ; 0) est à distance 2 des quatre droites portant les côtés. Les pieds des perpendiculaires sont (0 ; −2), (8/5 ; 6/5), (0 ; 2) et (−8/5 ; 6/5), tous situés sur les côtés correspondants. Le cercle de centre O et de rayon 2 est donc tangent aux quatre côtés : le trapèze est circonscriptible. Ce dernier contrôle prouve l’existence du cercle, au-delà de la seule égalité des sommes.

Pour tester une figure donnée, commencez par mesurer les quatre côtés et comparez les deux sommes opposées. Si elles diffèrent au-delà de la précision des mesures, aucun cercle ne peut être tangent aux quatre côtés. Si elles concordent, poursuivez : ce premier test ne conclut pas encore.

Cherchez ensuite l’intersection de deux bissectrices intérieures. Mesurez sa distance perpendiculaire aux quatre côtés. Le quadrilatère est circonscriptible lorsque ce point est intérieur, que ces quatre distances sont égales, que les pieds des perpendiculaires appartiennent bien aux segments et que le disque ainsi défini reste contenu dans le quadrilatère.

Dans un problème où trois côtés d’un quadrilatère circonscriptible sont connus, la relation de Pitot permet de calculer le quatrième. Elle remplace alors une construction géométrique, à condition que l’existence du cercle inscrit soit déjà donnée ou démontrée.

Quadrilatère inscriptible. Ses quatre sommets appartiennent à un même cercle, tandis que les côtés d’un quadrilatère circonscriptible sont tangents à un cercle intérieur. Un rectangle non carré est inscriptible, mais il n’est pas circonscriptible.

Cercle circonscrit. Il passe par les sommets de la figure. Le cercle inscrit touche les côtés. Pour décider lequel est présent, il suffit donc d’observer si les points remarquables sont les sommets ou des points de contact sur les côtés.

Égalité sans cercle. L’égalité a + c = b + d élimine les quadrilatères impossibles, mais ne certifie pas un quadrilatère donné. Si les bissectrices ne fournissent pas un centre équidistant des quatre côtés, il faut conclure que le cercle inscrit n’existe pas.

Figure dégénérée ou croisée. La définition employée ici porte sur un quadrilatère convexe, d’aire strictement positive, et sur un cercle intérieur de rayon strictement positif. Une figure aplatie ou auto-intersectée réclame d’autres conventions et ne doit pas être validée par la seule relation de Pitot.

Tangence aux droites seulement. Un point peut être à égale distance des quatre droites prolongées sans que les quatre pieds de perpendiculaires tombent sur les côtés. Il faut contrôler l’appartenance de chaque point de contact au segment correspondant.

Mesures approchées. Sur un dessin, deux sommes peuvent sembler égales après arrondi. Il faut comparer leur écart à l’incertitude de mesure, puis vérifier géométriquement les quatre tangences au lieu de traiter un arrondi comme une égalité exacte.

Le glossaire cercle inscrit précise la tangence aux côtés et le rôle du centre équidistant.

La fiche quadrilatère inscriptible développe la notion duale où les sommets, et non les côtés, rencontrent un cercle.

La notion de bissectrice intérieure explique pourquoi le centre d’un cercle tangent à deux côtés est à égale distance de leurs droites.