théorème de Brahmagupta

Imaginez quatre points sur un cercle, reliés pour former un quadrilatère. Ses deux diagonales se croisent à angle droit. Depuis ce croisement, on trace une droite également perpendiculaire à l’un des côtés. Le théorème affirme que cette droite atteint exactement le milieu du côté opposé. La moitié n’est donc pas trouvée par une mesure : elle est imposée par l’inscription dans le cercle et par les deux diagonales perpendiculaires.

Le théorème de Brahmagupta est une propriété des quadrilatères cycliques orthodiagonaux. Un quadrilatère est cyclique lorsque ses quatre sommets appartiennent à un même cercle ; il est orthodiagonal lorsque ses diagonales sont perpendiculaires.

On considère, dans cet ordre, les sommets A, B, C et D d’un tel quadrilatère. Les diagonales AC et BD se coupent au point P. Pour le côté AB, l’unique droite passant par P et perpendiculaire à AB passe par le milieu du côté opposé CD. Le même énoncé vaut en choisissant chacun des trois autres côtés.

L’inscription dans un cercle et la perpendicularité des diagonales sont deux hypothèses distinctes et indispensables. La conclusion concerne le milieu du segment opposé, pas le milieu du côté auquel la nouvelle droite est perpendiculaire. Le résultat porte le nom du mathématicien indien Brahmagupta, dont les travaux sur les quadrilatères inscriptibles ont durablement marqué la géométrie.

Soit ABCD un quadrilatère dont les sommets sont placés dans cet ordre sur un même cercle. Le point P désigne l’intersection des diagonales AC et BD, supposées perpendiculaires. Si la droite passant par P et perpendiculaire au côté AB coupe le côté opposé CD au point N, alors N est le milieu de CD. En notation condensée : $A,B,C,D\text{ cocycliques},AC\perp BD\text{ et }PN\perp AB⟹CN=NDA,B,C,D\; \backslash text\{\; cocycliques\},\backslash \; AC\; \backslash perp\; BD\; \backslash text\{\; et\; \}\; PN\; \backslash perp\; AB\; \backslash Longrightarrow\; CN=ND$.

Le domaine d’application est un quadrilatère euclidien non dégéné. Trois vérifications précèdent l’emploi du théorème : les quatre sommets appartiennent à un même cercle ; les diagonales se coupent ; leur angle d’intersection mesure 90°. Une fois un côté choisi, la conclusion détermine le milieu du côté opposé.

Un rectangle non carré fournit un contre-cas simple : ses sommets sont bien sur un cercle, mais ses diagonales ne sont pas perpendiculaires. Le théorème ne permet alors aucune conclusion sur la droite menée depuis leur intersection. Il faut calculer le milieu par ses coordonnées ou mobiliser une autre propriété du rectangle.

Dans un repère orthonormé, le cercle a pour centre l’origine O et pour rayon 5. On y place A(−5 ; 0), B(3 ; 4), C(5 ; 0) et D(3 ; −4), dans cet ordre.
• Les quatre sommets appartiennent au cercle.
• Les diagonales AC et BD se coupent en P(3 ; 0).
• Le côté choisi est AB, et son côté opposé est CD. La figure matérialise ces données et la droite à contrôler.

1. Chaque sommet vérifie l’équation du cercle : $x^2+y^2=25x^2+y^2=25$.
2. AC est horizontale et BD verticale ; elles sont donc perpendiculaires.
3. Le milieu de CD est N((5 + 3) / 2 ; (0 − 4) / 2), soit N(4 ; −2).
4. Le vecteur allant de A vers B a pour coordonnées (8 ; 4), tandis que celui allant de P vers N a pour coordonnées (1 ; −2).
5. Leur produit scalaire vaut $8\times 1+4\times (-2)=08\; \backslash times\; 1+4\; \backslash times\; (-2)=0$ : PN est perpendiculaire à AB.

La droite perpendiculaire à AB qui passe par P traverse donc N, le milieu de CD. Le contrôle se refait en recalculant N puis le produit scalaire, qui doit être nul.

Dans une construction géométrique, le théorème localise un milieu sans mesurer le côté opposé. On vérifie d’abord le cercle commun et l’angle droit entre les diagonales, puis on mène par leur intersection la perpendiculaire au côté choisi.

Dans une preuve, le résultat remplace un calcul de longueurs lorsque le but est précisément d’établir qu’un point partage un côté en deux segments égaux. Si l’inscription ou l’orthogonalité manque, un calcul de coordonnées reste l’alternative sûre.

Avec des coordonnées, le geste de contrôle est double : calculer le milieu du côté opposé, puis vérifier par un produit scalaire nul que la droite qui le relie à l’intersection des diagonales est perpendiculaire au côté choisi.

Avec une médiatrice. Une médiatrice est perpendiculaire à un segment et passe par le milieu de ce même segment. Ici, la droite est perpendiculaire à AB, mais le milieu qu’elle rencontre est celui du côté opposé CD. Dans l’exemple, N(4 ; −2) est le milieu de CD, pas celui de AB.

Avec la seule propriété des diagonales perpendiculaires. Un quadrilatère orthodiagonal n’est pas nécessairement inscrit dans un cercle. Le critère qui tranche est l’existence d’un cercle commun aux quatre sommets : sans lui, la conclusion sur le milieu n’est pas garantie.

Un angle presque droit ne suffit pas. Sur une figure imprécise, les diagonales peuvent sembler perpendiculaires. Il faut établir un angle de 90°, par exemple au moyen d’un produit scalaire exactement nul ; une valeur seulement proche de zéro ne prouve pas le théorème.

L’orthogonalité seule est insuffisante. Avec A(−2 ; 0), B(0 ; 3), C(4 ; 0) et D(0 ; −1), les diagonales sont perpendiculaires, mais les quatre points ne sont pas sur un même cercle. Le milieu de CD est (2 ; −0,5) et la droite qui le relie à l’intersection des diagonales n’est pas perpendiculaire à AB. Il faut donc vérifier la cyclicité avant de conclure.

Une diagonale peut être un diamètre sans que ce soit une hypothèse. Dans l’exemple guidé, AC passe par le centre du cercle. Cette particularité simplifie les coordonnées, mais le théorème exige seulement un quadrilatère cyclique à diagonales perpendiculaires. Il ne faut pas ajouter la condition de diamètre à l’énoncé général.

Le côté opposé dépend du côté choisi. Pour AB, il s’agit de CD ; pour BC, il s’agit de DA. Nommer les quatre sommets dans leur ordre sur le cercle évite de viser par erreur un côté adjacent.

Quadrilatère inscriptible. Cette notion précise comment reconnaître les quatre sommets cocycliques qui constituent l’hypothèse centrale du théorème.