pseudo-carré

Imaginez quatre points reliés pour former une figure fermée. Tracez ses deux diagonales, c'est-à-dire les segments qui relient les sommets opposés. Pour obtenir un pseudo-carré, ces deux segments doivent avoir la même longueur et se croiser en formant un angle droit. La figure peut pourtant avoir des côtés de longueurs différentes et ne pas ressembler à un carré régulier.

Le carré habituel respecte ces deux règles, mais il n'est pas le seul. Pour reconnaître la notion, il suffit donc d'observer les diagonales avant de juger la forme générale des côtés.

Un pseudo-carré est un quadrilatère dont les diagonales sont simultanément équidiagonales et orthogonales. Une diagonale relie deux sommets opposés ; appelons d₁ et d₂ les longueurs des deux diagonales, et ℓ₁ et ℓ₂ leurs supports, c'est-à-dire les deux droites qui les portent. La première condition est l'égalité des longueurs : $d_1=d_{2}d\_1=d\_2$. La seconde est la perpendicularité des supports : ${\mathrm{\ell }}_1\perp {\mathrm{\ell }}_2\backslash ell\_1\backslash perp\; \backslash ell\_2$.

Ces critères s'appliquent à un quadrilatère simple, c'est-à-dire une figure fermée dont les côtés ne se croisent pas, et ils ne rendent pas ses côtés nécessairement égaux. Le carré ordinaire est un cas particulier très symétrique. Un quadrilatère convexe peut satisfaire les deux critères tout en ayant quatre côtés de longueurs différentes : l'égalité et l'angle droit des diagonales ne suffisent donc pas à conclure qu'il s'agit d'un carré.

Considérons un quadrilatère convexe ABCD, dans cet ordre, dont les sommets sont repérés dans un plan en unités : A(0 ; 4), B(5 ; 0), C(0 ; −2) et D(−1 ; 0). Les données utiles sont les suivantes : la diagonale AC est verticale, la diagonale BD est horizontale, et leur point de croisement est O(0 ; 0).

La longueur de AC est 4 − (−2) = 6 unités.
La longueur de BD est 5 − (−1) = 6 unités.
Les directions verticale et horizontale sont perpendiculaires, donc les diagonales se coupent à angle droit.
Les deux diagonales ont ainsi la même longueur et sont orthogonales : ABCD est un pseudo-carré.
Pour contrôler qu'il ne s'agit pas du carré ordinaire, AB = √41 unités tandis que BC = √29 unités ; deux côtés consécutifs n'ont donc pas la même longueur.

Le contrôle est refaisable directement sur les coordonnées : AC varie seulement selon l'ordonnée, BD seulement selon l'abscisse. La figure vérifie les deux critères exacts sans supposer une régularité des côtés.

En géométrie plane, on peut tester un quadrilatère en mesurant ou en calculant ses deux diagonales. On vérifie ensuite leur angle de rencontre ; un angle droit mesuré avec une précision limitée doit être considéré avec la tolérance de l'instrument.

Dans un exercice sur coordonnées, la comparaison des longueurs des diagonales et le produit scalaire de leurs vecteurs fournissent un contrôle calculable. Si les deux longueurs diffèrent ou si le produit scalaire n'est pas nul, la figure n'est pas un pseudo-carré.

Un pseudo-carré ne se confond pas avec un carré. Le carré exige notamment quatre côtés de même longueur et quatre angles droits ; le pseudo-carré est identifié ici par ses deux diagonales égales et perpendiculaires. Le quadrilatère ABCD de l'exemple tranche la distinction : ses diagonales mesurent chacune 6 unités, mais AB = √41 unités et BC = √29 unités.

Une diagonale seule ne suffit jamais. Un quadrilatère peut avoir deux diagonales de même longueur sans qu'elles soient perpendiculaires, ou des diagonales perpendiculaires sans qu'elles aient la même longueur. Dans chacun de ces cas, le symptôme observable est l'échec de l'un des deux contrôles ; il faut vérifier les deux conditions séparément.

Le mot quadrilatère suppose ici une figure simple et non dégénérée : quatre sommets distincts reliés en une boucle sans croisement. Si deux sommets se confondent, si trois sommets sont alignés ou si les côtés se croisent, les calculs de diagonales ne suffisent plus à appliquer cette définition sans préciser une autre convention.

Pour prolonger l'étude, on peut partir des deux familles citées par la définition : les quadrilatères équidiagonaux, caractérisés par des diagonales de même longueur, et les quadrilatères orthodiagonaux, caractérisés par des diagonales perpendiculaires. Le pseudo-carré correspond à leur intersection ; cette lecture aide à comprendre pourquoi le carré est un exemple, sans être le seul possible.