GéométrieNotion · Glossaire
Losange
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur. C'est un cas particulier de parallélogramme, et donc ses diagonales se coupent en leur milieu. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires entre elles et bissectent les angles du losange. Le carré est le cas particulier d'un losange dont les angles sont tous droits. L'aire d'un losange est égale à la moitié du produit de ses diagonales. Le losange est la figure duale du rectangle par rapport au parallélogramme.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un losange par l’égalité de ses quatre côtés.
- Relier les diagonales perpendiculaires au côté et à l’aire.
- Calculer une aire de 120 cm² à partir de diagonales de 24 cm et 10 cm.
- Distinguer le losange du rectangle quelconque et du cerf-volant.
En clair
Imaginez quatre baguettes de même longueur, reliées bout à bout. En poussant deux sommets opposés, la figure s’aplatit ou se redresse, mais ses quatre côtés restent égaux : elle forme toujours un losange tant qu’elle ne s’écrase pas.
Les segments qui joignent les sommets opposés sont les diagonales. Dans un losange, elles se croisent à angle droit et chacune coupe l’autre en deux. Leur longueur suffit à calculer l’aire.
Définition
Un losange est un quadrilatère non aplati dont les quatre côtés ont la même longueur. Ses côtés opposés sont parallèles : tout losange est donc un parallélogramme. En revanche, ses angles ne sont pas nécessairement droits.
Les deux diagonales joignent les sommets opposés. Elles se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et partagent chacune deux angles opposés en deux angles égaux. Si leurs longueurs sont notées D et d, l’aire A vaut .
Le carré est le cas particulier où les quatre angles sont droits. Dans la famille des parallélogrammes, le losange et le rectangle sont souvent présentés comme des figures duales : l’un impose l’égalité des côtés, l’autre celle des angles droits.
Un exemple, pas à pas
Un losange ABCD a une grande diagonale AC de 24 cm et une petite diagonale BD de 10 cm. Leur point d’intersection est O. La construction associe ces mesures aux quatre demi-diagonales et au côté AB.
1. Les diagonales se coupent en leur milieu : AO mesure 12 cm et BO mesure 5 cm.
2. Le triangle AOB est rectangle en O. Le théorème de Pythagore donne : chaque côté mesure 13 cm.
3. L’aire vaut , soit 120 cm2.
Le contrôle est refaisable en prenant le côté de 13 cm pour base. La hauteur correspondante vaut 120 ÷ 13 cm, et base × hauteur redonne exactement 120 cm2.
En pratique
Pour reconnaître un losange sur une figure codée, cherchez d’abord quatre côtés portant le même signe d’égalité. Une forme simplement posée sur une pointe ne suffit pas.
Pour calculer son aire, utilisez le produit des diagonales divisé par deux lorsque leurs longueurs sont connues. Si une base et la hauteur correspondante sont données, le calcul base × hauteur est plus direct.
Pour construire le losange de l’exemple, tracez deux segments perpendiculaires de 24 cm et 10 cm ayant le même milieu, puis reliez leurs extrémités dans l’ordre.
À ne pas confondre
Avec un cerf-volant. Un cerf-volant peut n’avoir que deux paires de côtés consécutifs égaux. Si les quatre côtés ne sont pas égaux, ce n’est pas un losange.
Avec un rectangle quelconque. Un rectangle a quatre angles droits, mais ses côtés adjacents peuvent avoir des longueurs différentes. Un rectangle de 8 cm sur 5 cm n’est pas un losange.
Avec une forme en diamant. L’orientation ou l’apparence ne définit pas la figure. Sans égalité vérifiée des quatre côtés, un quadrilatère incliné n’est pas nécessairement un losange.
Limites et pièges
Le carré reste un losange. Quatre angles droits ne font pas sortir la figure de la catégorie : ils définissent son cas particulier carré. Il faut conserver les deux noms selon la propriété étudiée.
Une diagonale n’est pas une hauteur. Dans l’exemple, les diagonales mesurent 24 cm et 10 cm, mais la hauteur relative au côté de 13 cm mesure 120 ÷ 13 cm. Il ne faut donc pas employer côté × diagonale pour l’aire.
Le cas aplati est dégénéré. Si deux sommets opposés se rejoignent sur une même droite, une diagonale devient nulle et l’aire vaut 0. On obtient une limite du losange, pas un quadrilatère non aplati.
La dualité avec le rectangle est structurelle. Elle compare deux contraintes au sein des parallélogrammes ; elle ne signifie ni que les figures ont toujours la même aire, ni qu’elles sont superposables.
Pour aller plus loin
quadrilatère — Situer le losange parmi les figures à quatre côtés et préciser le vocabulaire commun.
Diagonale — Approfondir le rôle des segments joignant deux sommets non consécutifs.
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