GéométrieThéorème · Glossaire
théorème de Clairaut - géométrie -
Dans un triangle non aplati ABC, construisons extérieurement deux parallélogrammes sur AB et AC, puis notons O l’intersection des droites portant leurs côtés opposés. Sur BC, construisons un parallélogramme extérieur dont le côté issu de C est parallèle à OA et de même longueur. Le théorème de Clairaut affirme que son aire est la somme des aires des deux premiers, ce qui permet de déterminer une aire sans connaître leur forme exacte.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les trois parallélogrammes et le rôle du point d’intersection O.
- Appliquer l’égalité entre l’aire de BCHI et la somme des deux autres aires.
- Refaire la construction numérique 3–4–5 et contrôler les aires 9, 16 et 25 cm².
- Distinguer le théorème géométrique de Clairaut du cas particulier de Pythagore.
- Repérer les configurations où l’intersection O ou les hypothèses de construction manquent.
En clair
Imaginez un triangle dont chaque côté porte un parallélogramme, comme trois pièces accolées. Les deux pièces fixées aux côtés issus d’un même sommet déterminent une direction commune grâce au croisement de leurs côtés opposés. Cette direction sert à construire la troisième pièce.
Le théorème affirme alors une addition d’aires : la grande pièce construite sur le troisième côté occupe exactement autant de surface que les deux premières réunies. Avec un triangle rectangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm, les carrés correspondants ont ainsi pour aires 9 cm², 16 cm² et 25 cm².
Définition
Le théorème de Clairaut est une relation d’aires en géométrie plane. On part d’un triangle non aplati ABC. Sur les côtés AB et AC, on construit extérieurement les parallélogrammes ABDE et ACFG. Les droites portant leurs côtés opposés DE et FG se coupent en un point O. Sur le troisième côté BC, on construit alors un parallélogramme extérieur BCHI dont le côté CH est parallèle au segment OA et possède la même longueur.
Dans ces conditions, les aires usuelles, donc positives, vérifient : . La forme et les angles des deux premiers parallélogrammes peuvent varier ; c’est leur construction et le point O qui imposent le troisième. Lorsque ABC est rectangle en A et que les trois parallélogrammes sont des carrés, leurs aires sont les carrés des longueurs des côtés : l’égalité devient celle du théorème de Pythagore.
Le principe
Si deux parallélogrammes extérieurs ABDE et ACFG sont construits sur les côtés AB et AC d’un triangle ABC, si les droites (DE) et (FG) se coupent en O, et si le parallélogramme extérieur BCHI vérifie CH parallèle à OA avec CH = OA, alors :
L’égalité compare des surfaces ; elle n’affirme pas que les trois parallélogrammes ont la même forme.
Quand l'utiliser
La construction s’effectue dans le plan sur un triangle ABC non aplati. Les parallélogrammes ABDE et ACFG sont placés à l’extérieur du triangle, et les droites (DE) et (FG) doivent avoir un point d’intersection O. Le troisième parallélogramme est lui aussi extérieur ; son côté CH doit être parallèle à OA et de même longueur. Ces conditions fixent la direction et la hauteur dont dépend son aire.
Si (DE) et (FG) sont parallèles et distinctes, le point O n’existe pas dans le plan : la construction énoncée s’arrête et cette forme du théorème ne s’applique pas. De même, choisir sur BC un parallélogramme arbitraire, sans contrôler CH par rapport à OA, ne permet pas de conclure à l’addition des aires.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère gradué en centimètres, prenons A de coordonnées (0 ; 0), B de coordonnées (4 ; 0) et C de coordonnées (0 ; 3). Le triangle ABC est rectangle en A. À l’extérieur, ABDE et ACFG sont les carrés construits respectivement sur AB et AC.
Données : AB = 4 cm ; AC = 3 cm ; aire de ABDE = 16 cm² ; aire de ACFG = 9 cm². Les côtés opposés DE et FG se coupent en O de coordonnées (−3 ; −4). La figure rend visibles les trois carrés et les deux segments parallèles de même longueur.
1. De O vers A, le déplacement horizontal vaut 3 cm et le déplacement vertical vaut 4 cm.
2. La longueur OA vaut donc 5 cm, par le calcul 3² + 4² = 5².
3. On reporte ce déplacement depuis C : H a pour coordonnées (3 ; 7), et le quatrième sommet I a pour coordonnées (7 ; 4).
4. Le quadrilatère BCHI est ici un carré de côté 5 cm ; son aire vaut 25 cm².
2. La longueur OA vaut donc 5 cm, par le calcul 3² + 4² = 5².
3. On reporte ce déplacement depuis C : H a pour coordonnées (3 ; 7), et le quatrième sommet I a pour coordonnées (7 ; 4).
4. Le quadrilatère BCHI est ici un carré de côté 5 cm ; son aire vaut 25 cm².
Le contrôle annoncé par Clairaut est exact : 25 cm² = 16 cm² + 9 cm². On peut aussi vérifier que le vecteur allant de B vers C a pour composantes (−4 ; 3), tandis que celui allant de C vers H a pour composantes (3 ; 4) : leur produit scalaire vaut 0, donc deux côtés consécutifs de BCHI sont perpendiculaires.
En pratique
Dans un exercice de construction, commencez par prolonger les côtés opposés DE et FG jusqu’à leur intersection O. Le segment OA donne ensuite la direction et la longueur du côté CH ; une estimation faite à l’œil ne garantit pas l’égalité d’aires.
Pour calculer une aire inconnue, additionnez les aires des parallélogrammes portés par AB et AC lorsque toutes les hypothèses sont vérifiées. Si le troisième parallélogramme est déjà donné sans lien avec O, employez plutôt sa base et sa hauteur.
Lorsque le dessin montre un triangle rectangle et trois carrés, le théorème de Pythagore est la voie la plus directe. Clairaut devient utile pour reconnaître que cette addition de surfaces subsiste avec des parallélogrammes plus généraux, à condition de respecter la construction.
À ne pas confondre
Le théorème de Clairaut ne se confond pas avec le théorème de Pythagore. Pythagore porte sur les longueurs des côtés d’un triangle rectangle ; Clairaut porte sur les aires de parallélogrammes liés par le point O. Dans le triangle 3–4–5 muni de carrés, les deux énoncés donnent 25 = 16 + 9, mais Clairaut autorise aussi d’autres formes de parallélogrammes.
Il ne faut pas non plus remplacer « somme des aires » par « réunion des figures ». Les trois parallélogrammes occupent des régions différentes du plan ; l’égalité compare leurs mesures de surface, sans demander de les découper ni de les superposer.
Limites et pièges
Un triangle aplati, dont les trois sommets sont alignés, ne fournit pas la configuration extérieure ordinaire du théorème. Le symptôme est une aire du triangle égale à 0 et des côtés qui ne délimitent plus deux côtés du plan de la même manière. Il faut revenir à un triangle non dégénéré.
L’intersection O n’est pas un détail graphique. Si (DE) et (FG) sont parallèles, leur intersection finie manque et le côté CH ne peut pas être défini par OA. Il ne faut pas prolonger arbitrairement le dessin : cette configuration sort de l’énoncé donné.
Une longueur CH correcte ne suffit pas si sa direction est fausse. Dans l’exemple 3–4–5, CH mesure 5 cm et doit être parallèle à OA ; tourner ce segment modifie la hauteur du parallélogramme sur BC et donc son aire. Il faut contrôler à la fois longueur et parallélisme.
L’égalité d’aires n’implique aucune congruence. Deux parallélogrammes peuvent avoir la même aire tout en ayant des côtés et des angles différents. Pour conclure à une même forme, il faudrait des informations métriques supplémentaires que le théorème ne fournit pas.
Pour aller plus loin
Le théorème de Pythagore présente le cas particulier où le triangle est rectangle et où les parallélogrammes sont des carrés.
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