lunule d'Hippocrate

Dessinez un triangle rectangle, puis prenez chacun de ses trois côtés comme diamètre d’un demi-cercle. Deux zones en forme de croissant apparaissent entre les arcs. Ce sont les deux lunules d’Hippocrate.

Le résultat surprenant concerne leur aire totale : les deux croissants occupent exactement autant de surface que le triangle. Cette égalité vient du fait que l’aire d’un demi-cercle est proportionnelle au carré de son diamètre, comme dans le théorème de Pythagore.

La lunule d’Hippocrate est une région curviligne construite à partir d’un triangle rectangle. On note A le sommet de l’angle droit, B et C les deux autres sommets. Les côtés AB et AC sont les cathètes, tandis que BC est l’hypoténuse. Des demi-cercles sont construits sur ces trois segments pris comme diamètres. Les deux régions comprises entre les arcs associés aux cathètes et les arcs correspondants du cercle de diamètre BC forment les deux lunules.

Pour un demi-cercle dont le diamètre vaut d, l’aire vaut $\frac{\pi d^2}{8}\backslash frac\{\backslash pi\; d^2\}\{8\}$. Le théorème de Pythagore donne $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^{2}BC^2=AB^2+AC^2$. Les aires des demi-cercles vérifient donc la même relation. En retirant les portions communes, on obtient que la somme des aires des deux lunules est égale à l’aire du triangle ABC.

L’égalité porte sur l’aire totale des deux lunules, et non, en général, sur chacune prise séparément. Le triangle doit être rectangle : c’est cette hypothèse qui autorise l’identité de Pythagore utilisée dans le calcul.

Prenons un triangle ABC rectangle en A, avec AB = 3, AC = 4 et BC = 5. Les trois longueurs sont cohérentes, car 3² + 4² = 5². La figure associée rend visibles le triangle et les deux zones curvilignes dont on additionne les aires.

1. L’aire du demi-cercle de diamètre AB vaut $\frac{\pi \times 3^2}{8}=\frac{9\pi }{8}\backslash frac\{\backslash pi\backslash times3^2\}\{8\}=\backslash frac\{9\backslash pi\}\{8\}$.

2. L’aire du demi-cercle de diamètre AC vaut $\frac{\pi \times 4^2}{8}=2\pi \backslash frac\{\backslash pi\backslash times4^2\}\{8\}=2\backslash pi$.

3. Leur somme vaut $\frac{9\pi }{8}+2\pi =\frac{25\pi }{8}\backslash frac\{9\backslash pi\}\{8\}+2\backslash pi=\backslash frac\{25\backslash pi\}\{8\}$, soit exactement l’aire du demi-cercle de diamètre BC.

4. Après retrait des portions communes, l’aire totale des deux lunules est donc celle du triangle : $\frac{3\times 4}{2}=6\backslash frac\{3\backslash times4\}\{2\}=6$ unités carrées. Le contrôle consiste à refaire les deux calculs indépendants : l’identité 9 + 16 = 25 valide les demi-cercles, et la base 3 avec la hauteur 4 valide l’aire 6.

Pour reconnaître la construction, vérifiez d’abord que le triangle possède un angle droit et que chaque côté sert de diamètre à un demi-cercle. Si le triangle n’est pas rectangle, l’égalité d’aire caractéristique ne suit plus de ce raisonnement.

Pour calculer l’aire totale des deux lunules, il est plus direct de calculer l’aire du triangle rectangle. Le produit des longueurs des deux cathètes, divisé par deux, remplace alors un calcul séparé de plusieurs secteurs courbes.

Pour contrôler un dessin, comparez les carrés des trois diamètres. La somme des carrés des deux cathètes doit égaler le carré de l’hypoténuse ; ce test relie immédiatement la construction au théorème de Pythagore.

Une lunule n’est pas un demi-cercle. Un demi-cercle est délimité par un diamètre droit et un arc ; une lunule est le croissant délimité par deux arcs. Dans la construction 3–4–5, les demi-cercles servent à produire les deux lunules, mais ne sont pas eux-mêmes les zones dont l’aire totale vaut 6.

La quadrature des lunules ne doit pas être assimilée à une quadrature du disque entier. Le cas qui tranche est la région mesurée : ici, l’égalité concerne deux croissants curvilignes précis construits sur un triangle rectangle.

Le cas charnière est l’angle droit, soit 90°. Si l’angle en A n’est pas droit, l’égalité BC² = AB² + AC² n’est pas disponible sous cette forme ; il ne faut donc pas conclure que l’aire des lunules égale celle du triangle.

L’expression « aire de la lunule » peut masquer qu’il y a deux régions. Dans une figure non symétrique, comme le triangle 3–4–5, elles n’ont aucune raison d’avoir séparément la même aire. Il faut additionner les deux croissants avant de comparer leur aire à celle du triangle.

Un tracé placé du mauvais côté d’un segment peut faire disparaître les croissants attendus ou créer une autre région. Le bon réflexe consiste à identifier les deux arcs qui relient A à B et A à C, puis à vérifier visuellement les deux zones fermées avant tout calcul.

Le théorème de Pythagore permet de reprendre l’identité sur les carrés des diamètres qui commande toute la preuve par les aires.

L’article Le théorème de Pythagore… avant Pythagore ! replace cette relation dans une perspective historique plus large.