arbelos

Tracez un grand demi-cercle, puis partagez son diamètre en deux morceaux. Sur chacun, dessinez un demi-cercle plus petit, tourné du même côté. La lame courbe comprise entre les trois arcs est l’arbelos, mot grec signifiant « couteau du cordonnier ».

La découpe peut être dissymétrique, mais deux équilibres demeurent : les deux petits arcs mis bout à bout ont la longueur du grand, et une hauteur bien choisie donne un disque de même aire que la lame.

Un arbelos, aussi appelé tricercle de Mohr, est une région de géométrie plane. On choisit un segment [AB] et un point C strictement intérieur à ce segment. Le grand demi-cercle Γ a [AB] pour diamètre. Dans le même demi-plan, les demi-cercles Γ₁ et Γ₂ ont respectivement [AC] et [CB] pour diamètres. La région située dans le grand demi-disque et hors des deux petits demi-disques est l’arbelos. Sa forme ne dépend ni de l’orientation ni de l’échelle du dessin, mais du partage du diamètre en C.

Si les longueurs AC et CB valent respectivement a et b, alors AB vaut a + b. La longueur du grand arc est donc égale à la somme des deux petits arcs. En menant par C la perpendiculaire à (AB), on note D son intersection avec Γ. L’aire de l’arbelos est égale à celle du disque ayant [CD] pour diamètre. Cette configuration, étudiée notamment par Archimède, accueille aussi les cercles jumeaux d’Archimède, le cercle de Pappus, le cercle de Bankoff, le cercle de Schoch et des chaînes de cercles tangents; elle est liée à la baderne d’Apollonius.

Prenons un diamètre AB de 10 cm et plaçons C de sorte que AC mesure 4 cm et CB mesure 6 cm. Les rayons du grand demi-cercle et des deux petits valent donc 5 cm, 2 cm et 3 cm. La construction correspondante rend visibles les trois arcs et la hauteur CD.

1. La longueur du grand arc vaut 5π cm. Celles des petits arcs valent 2π cm et 3π cm; leur somme vaut bien 5π cm.

2. L’aire cherchée est l’aire du grand demi-disque diminuée de celles des deux petits : $\frac{\pi }{2}(5^2-2^2-3^2)=6\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash left(5^2-2^2-3^2\backslash right)=6\backslash pi\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^2$.

3. Dans le triangle rectangle ADB, la hauteur CD vérifie $C{D}^2=AC\times CB=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}CD^2=AC\backslash times\; CB=24\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^2$. Ainsi, CD vaut exactement 2√6 cm.

Le disque de diamètre CD a pour rayon √6 cm, donc pour aire 6π cm². Ce second calcul contrôle exactement l’aire de l’arbelos.

Pour construire un arbelos, commencez par un segment et marquez un point strictement entre ses extrémités. Un compas suffit ensuite à tracer les trois demi-cercles; une règle graduée n’est utile que si le partage doit respecter des longueurs données.

Pour contrôler les longueurs d’arcs, relevez les trois rayons plutôt que de mesurer les courbes. La formule « longueur d’un demi-cercle = π × rayon » donne une vérification exacte, alors qu’une mesure dans la représentation dépend de son épaisseur et de sa précision.

Pour contrôler l’aire, soustrayez les deux petits demi-disques du grand. Si la hauteur issue de C est déjà tracée, le disque de diamètre CD fournit un calcul alternatif et un contrôle indépendant.

Il ne faut pas non plus confondre l’arbelos avec la chaîne de Pappus. La région en forme de lame est l’arbelos; la suite de cercles tangents que l’on peut inscrire dans cette configuration constitue une chaîne de Pappus. Un dessin limité aux trois demi-cercles contient le premier sans encore montrer la seconde.

Le point C doit être strictement intérieur à [AB]. S’il coïncide avec A ou B, l’un des petits diamètres vaut 0 : la « lame » a alors une aire nulle et la configuration dégénère. Il faut choisir AC > 0 et CB > 0 pour obtenir un arbelos non dégénéré.

Les trois demi-cercles doivent être tracés dans le même demi-plan et sur les diamètres [AB], [AC] et [CB]. Retourner un petit demi-cercle de l’autre côté de (AB) produit une autre figure; les soustractions d’aires décrites ici ne représentent plus la région dessinée.

L’égalité des arcs concerne leurs longueurs, pas leurs courbures ni leurs formes. Lorsque AC ≠ CB, les deux petits arcs ont des rayons différents même si la somme de leurs longueurs égale celle du grand arc.

L’égalité d’aires porte sur le disque complet de diamètre CD, et non sur un demi-disque. Prendre CD pour le rayon multiplierait l’aire attendue par quatre; prendre CD/2 pour le diamètre la diviserait par quatre. Il faut utiliser le rayon CD/2.

L’article L’arbelos prolonge l’étude de cette figure au-delà de sa définition et de ses deux égalités fondamentales.

L’article Des cercles touchants ouvre sur les configurations de tangence qui apparaissent lorsque d’autres cercles sont inscrits autour de l’arbelos.