GéométrieNotion · Glossaire
lunule
En géométrie plane, une lunule (du latin luna, lune) désigne une région du plan délimitée par deux arcs de cercles de centres distincts, de rayons égaux ou différents, choisis dans une configuration qui forme un croissant : convexe d'un côté et concave de l'autre, à l'image d'une lune en quartier. La surface ainsi délimitée présente deux pointes aux extrémités des arcs.
Les lunules occupent une place notable dans l'histoire des mathématiques, car elles firent l'objet des premières quadratures rigoureuses de figures curvilignes. Hippocrate de Chios, mathématicien grec du Ve siècle avant notre ère, démontra que certaines lunules ont une aire égale à celle d'un triangle rectangle donné — résultat connu sous le nom de théorème des lunules d'Hippocrate ou théorème des deux lunules. Ce résultat fut longtemps interprété comme un indice de la possibilité de la quadrature du cercle, problème qui s'avéra finalement insoluble à la règle et au compas.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une lunule à ses deux arcs, ses deux pointes et ses côtés convexe et concave.
- Relier les rayons des cercles à l’aire de la région en croissant.
- Vérifier le théorème des deux lunules sur un triangle rectangle 3–4–5.
- Distinguer la quadrature de certaines lunules de la quadrature du cercle.
En clair
Tracez deux arcs qui se rejoignent aux mêmes pointes. Si l’un bombe vers l’extérieur et l’autre creuse la figure, la zone enfermée ressemble à un quartier de lune. Cette zone en croissant est une lunule.
Ses deux bords appartiennent à des cercles de centres distincts. Les cercles peuvent avoir le même rayon ou des rayons différents.
Définition
En géométrie plane, une lunule est une région en croissant bornée par deux arcs de cercle qui ont les mêmes extrémités. Les arcs sont choisis dans une configuration où l’un donne à la frontière son côté convexe et l’autre son côté concave. Les cercles porteurs ont des centres distincts, et leurs rayons peuvent être égaux ou différents. Les deux arcs ferment alors une surface terminée par deux pointes.
L’aire d’une lunule dépend de la position et du rayon des deux cercles. Certaines configurations permettent une quadrature : leur aire est alors exactement égale à celle d’une figure rectiligne constructible. Au Ve siècle avant notre ère, Hippocrate de Chios a établi ce résultat pour certaines lunules. Dans le théorème des deux lunules, deux croissants associés à un triangle rectangle ont ensemble la même aire que le triangle.
Cette égalité particulière ne résout pas la quadrature du cercle. Celle-ci demande de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un disque quelconque, construction impossible.
Un exemple, pas à pas
Prenons un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 4 cm, et dont l’hypoténuse mesure 5 cm. Construisons à l’extérieur du triangle les demi-disques de diamètres 3 cm et 4 cm. Le demi-disque de diamètre 5 cm se trouve du côté du triangle et son arc passe par le sommet de l’angle droit. Les deux lunules sont les parties des petits demi-disques qui restent hors de ce grand demi-disque.
1. L’aire d’un demi-disque de diamètre 3 cm vaut cm2.
2. Celle du demi-disque de diamètre 4 cm vaut cm2.
3. Leur somme vaut donc cm2, exactement l’aire du demi-disque de diamètre 5 cm.
4. En retirant de part et d’autre les deux mêmes segments circulaires, il reste les deux lunules d’un côté et le triangle de l’autre.
5. L’aire du triangle vaut cm2.
2. Celle du demi-disque de diamètre 4 cm vaut cm2.
3. Leur somme vaut donc cm2, exactement l’aire du demi-disque de diamètre 5 cm.
4. En retirant de part et d’autre les deux mêmes segments circulaires, il reste les deux lunules d’un côté et le triangle de l’autre.
5. L’aire du triangle vaut cm2.
Les deux lunules jaunes ont donc ensemble une aire de 6 cm2. Le contrôle se refait sans mesurer les courbes : 32 + 42 = 52, donc les trois aires de demi-disques respectent la même égalité.
En pratique
Pour reconnaître une lunule sur une figure, on suit toute sa frontière. Elle doit être formée de deux arcs qui se rejoignent aux deux mêmes pointes, avec un bord convexe et un bord concave.
Pour calculer son aire, on identifie les disques ou demi-disques dont proviennent les arcs. On soustrait ensuite les portions communes ; dans une configuration d’Hippocrate, le théorème des deux lunules remplace cette soustraction par l’aire du triangle rectangle associé.
Si les côtés du triangle ne forment pas un angle droit, on revient au calcul des secteurs et des segments circulaires. L’égalité avec l’aire du triangle n’est alors pas justifiée par ce théorème.
À ne pas confondre
La quadrature de certaines lunules ne doit pas être confondue avec la quadrature du cercle. Dans le triangle 3–4–5, une aire curviligne totale de 6 cm2 est ramenée à celle du triangle ; aucune construction d’un carré égal à un disque quelconque n’en découle.
Limites et pièges
Deux arcs de cercle ne suffisent pas toujours à former une lunule. Ils doivent se rejoindre à deux extrémités et enfermer une région ; avec un seul point de contact, aucun croissant fermé à deux pointes n’apparaît.
Les rayons n’ont pas à être égaux. Les supposer identiques à la seule vue d’une forme symétrique peut fausser l’aire ; il faut retrouver le centre et le rayon de chacun des deux cercles.
Le théorème d’Hippocrate porte sur certaines configurations, et non sur toute lunule. Le symptôme d’un usage abusif est une égalité d’aires annoncée sans relation géométrique démontrée entre les cercles.
Dans la configuration standard d’un triangle rectangle, c’est la somme des aires des deux lunules qui égale l’aire du triangle. Pour le triangle 3–4–5, le résultat 6 cm2 concerne donc les deux régions réunies, pas chacune séparément.
Pour aller plus loin
Pour prolonger l'exemple, on peut comparer les aires des demi-disques construits sur les trois côtés d'un triangle rectangle. Le théorème de Pythagore explique alors pourquoi la somme des deux lunules d'Hippocrate retrouve exactement l'aire du triangle, sans fournir pour autant une quadrature générale du cercle.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres