Hippocrate de Chios

Vers 470 à 410 av. J.-C., Hippocrate de Chios séjourne à Athènes. Ce mathématicien grec, aussi appelé Hippocrate le Géomètre, rassemble la géométrie dans des Éléments, bien avant l'ouvrage d'Euclide.

Son idée la plus visible tient dans une forme de croissant : la lunule. En comparant des aires bordées par des arcs de cercle, il montre que certaines lunules ont exactement l'aire d'un triangle rectangle. Un contour courbe peut donc être mesuré à l'aide d'une figure rectiligne connue.

Hippocrate de Chios est un mathématicien grec de l'Antiquité, né vers 470 et mort vers 410 av. J.-C. Également nommé Hippocrate le Géomètre, il séjourne à Athènes parmi les mathématiciens et philosophes de son époque. La tradition lui attribue le premier traité systématique de géométrie, intitulé Éléments. Cet ouvrage, antérieur aux Éléments d'Euclide, aurait compté parmi leurs sources. Il n'est toutefois connu que par des références postérieures, comme les autres ouvrages d'Hippocrate.

Ses recherches concernent notamment la duplication du cube et la quadrature du cercle. Elles le conduisent aux lunules, des surfaces en croissant délimitées par des arcs de cercle et obtenues par différence entre deux régions circulaires. Quadraturer une telle surface consiste à construire une figure rectiligne de même aire. Hippocrate établit cette égalité pour certaines lunules associées à des triangles rectangles déterminés, et non pour toute lunule.

Ce résultat figure parmi les premières quadratures exactes connues de l'Antiquité. On attribue aussi à Hippocrate l'introduction du raisonnement par l'absurde comme méthode de preuve. Ces attributions doivent être lues avec prudence : aucun texte original conservé ne permet ici d'observer directement sa rédaction ou ses démonstrations.

Prenons un triangle rectangle isocèle dont les deux côtés perpendiculaires mesurent 4 unités. Son hypoténuse mesure $4\sqrt{2}4\backslash sqrt\{2\}$ unités. Construisons un demi-disque sur chacun des trois côtés. Les deux petits demi-disques sont placés sur les côtés de longueur 4 ; le grand a pour diamètre l'hypoténuse. Les deux croissants laissés par les arcs sont les lunules étudiées.

1. L'aire du triangle vaut la moitié du produit des deux côtés perpendiculaires : $\frac{4\times 4}{2}=8\backslash frac\{4\backslash times4\}\{2\}=8$ unités carrées.

2. Chaque petit demi-disque a pour rayon 2, donc pour aire $\frac{\pi \times 2^2}{2}=2\pi \backslash frac\{\backslash pi\backslash times2^2\}\{2\}=2\backslash pi$. Leur aire totale vaut $4\pi 4\backslash pi$.

3. Le grand demi-disque a pour rayon $2\sqrt{2}2\backslash sqrt\{2\}$. Son aire vaut également $\frac{\pi (2\sqrt{2}{)}^2}{2}=4\pi \backslash frac\{\backslash pi(2\backslash sqrt\{2\})^2\}\{2\}=4\backslash pi$.

4. Puisque les aires circulaires totales sont égales, les deux segments communs se retranchent de part et d'autre. Il reste les deux lunules d'un côté et le triangle de l'autre : leur aire totale est donc exactement 8 unités carrées. Par symétrie, chaque lunule mesure 4 unités carrées. Le contrôle consiste à doubler 4 : on retrouve bien l'aire 8 du triangle.

Pour lire une figure de lunule, on repère d'abord les diamètres des demi-cercles et le triangle rectangle qui les relie. Une simple ressemblance avec un croissant ne suffit pas : les égalités d'aire dépendent de cette construction géométrique.

Pour vérifier la quadrature, on compare les aires des demi-disques à partir de leurs rayons, puis on retranche les segments circulaires communs. Si la figure n'est pas construite sur les côtés d'un triangle rectangle, il faut calculer directement les régions au lieu d'appliquer cette égalité.

Pour situer le résultat dans l'histoire, on distingue enfin ce qui est démontré de ce qui est attribué. Les quadratures de certaines lunules constituent le résultat mathématique ; les Éléments et le rôle dans le raisonnement par l'absurde nous sont connus indirectement.

Hippocrate de Chios et Hippocrate de Cos. Le premier est le mathématicien grec associé aux lunules et aux Éléments de géométrie. Le second, son contemporain, est associé à la médecine. Une mention de géométrie ou de lunules désigne Hippocrate de Chios ; une mention du père de la médecine désigne Hippocrate de Cos.

Quadrature de lunules et quadrature du cercle. Hippocrate obtient une figure rectiligne de même aire que certaines lunules. Cela ne revient pas à quadraturer le cercle entier : le cas tranchant est précisément une surface en croissant formée par deux arcs, et non le disque complet.

Des dates approximatives. Les indications vers 470 et vers 410 av. J.-C. encadrent traditionnellement la vie d'Hippocrate ; leur formulation signale qu'il ne s'agit pas ici d'années certaines. Il faut conserver « vers » plutôt que transformer ces repères en dates exactes.

Des œuvres connues indirectement. Le symptôme d'une certitude excessive serait de citer ses ouvrages comme des textes conservés et directement consultables. Les informations disponibles dans cette fiche viennent de références présentes dans des œuvres postérieures ; les formulations « réputé » et « attribue » gardent cette limite visible.

Certaines lunules seulement. Une forme bordée par deux arcs n'a pas automatiquement l'aire d'un triangle rectangle. Il faut vérifier la construction et l'égalité des aires circulaires dont la soustraction produit la lunule ; à défaut, on calcule son aire sans invoquer le résultat d'Hippocrate.

Une recherche n'est pas une résolution. La duplication du cube et la quadrature du cercle sont les problèmes qui orientent ses recherches. La source n'affirme pas qu'Hippocrate les a résolus ; il faut donc rattacher son résultat exact aux lunules, sans étendre la conclusion au cube ou au cercle entier.

La fiche lunule précise la géométrie de cette surface en croissant et aide à reconnaître les régions dont Hippocrate compare les aires.