Thalès de Milet

Vers 600 av. J.-C., à Milet, Thalès cherche des explications rationnelles au ciel, au monde et aux figures géométriques. Il séjourne aussi en Égypte, où il acquiert des connaissances en mathématiques et en astronomie.

Aucun de ses textes ne nous est parvenu. Son portrait repose donc sur des témoignages ultérieurs : ils lui attribuent des observations astronomiques, une philosophie fondée sur l'eau et plusieurs résultats de géométrie. Le plus célèbre aujourd'hui relie parallélisme et proportionnalité dans un triangle.

Thalès de Milet est un astronome, philosophe et mathématicien grec ayant vécu approximativement de 624 à 548 av. J.-C. D'abord commerçant, il séjourne en Égypte, puis fonde à son retour l'École ionienne, aussi appelée école milésienne. Il est considéré comme le père de la géométrie déductive grecque et comme le premier philosophe rationnel. Aucun écrit de Thalès n'étant conservé, sa pensée et ses travaux ne sont connus que par des témoignages postérieurs.

En philosophie, il fait de l'eau le principe fondateur de l'univers. En astronomie, l'observation de l'inclinaison de l'écliptique et la prévision d'une éclipse solaire en 585 av. J.-C. lui sont attribuées. En géométrie, la tradition lui attribue quatre propositions : un diamètre partage un cercle en deux demi-cercles superposables ; les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux ; deux angles opposés par le sommet sont égaux ; un angle inscrit dans un demi-cercle est droit.

Son nom reste surtout associé au théorème de Thalès. Trois droites parallèles découpent sur deux sécantes des segments homologues proportionnels. Dans un triangle nommé ABC, si le point M appartient au côté [AB], si le point N appartient au côté [AC] et si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC), alors les triangles AMN et ABC ont des côtés proportionnels : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\backslash frac\{AM\}\{AB\}=\backslash frac\{AN\}\{AC\}=\backslash frac\{MN\}\{BC\}$.

On rencontre Thalès dans trois décors transmis par la source : Milet, où il fonde l'École ionienne ; l'Égypte, où il acquiert des connaissances ; et le ciel, avec l'écliptique et l'éclipse solaire attribuée à 585 av. J.-C. Ces repères situent un penseur grec entre astronomie, philosophie et mathématiques.

Sa trace actuelle apparaît surtout dans les figures de géométrie. Un triangle traversé par un segment parallèle à l'un de ses côtés signale le théorème portant son nom. Un triangle isocèle, deux droites sécantes ou un angle inscrit dans un demi-cercle renvoient à d'autres propositions que les témoignages lui attribuent.

Pour lire une figure associée au théorème, la grandeur recherchée est un rapport de longueurs. 1. Identifiez d'abord le grand triangle ABC. 2. Situez M sur [AB] et N sur [AC]. 3. Contrôlez que (MN) et (BC) sont annoncées parallèles. 4. Associez les côtés qui occupent la même position dans les triangles AMN et ABC : AM avec AB, AN avec AC, MN avec BC.

Le dessin n'est pas une mesure : deux segments qui semblent parallèles à l'œil ne suffisent pas. La convention fiable est le codage ou l'hypothèse écrite de parallélisme. Une fois cette condition établie, les trois rapports ont le même facteur d'échelle. La figure proposée rend visible cette correspondance avant tout calcul.

Dans le triangle ABC, M est placé sur [AB] et N sur [AC]. Les données sont :
AM = 3 cm ; AB = 5 cm ; AC = 10 cm ; BC = 7 cm ; (MN) est parallèle à (BC). On cherche les longueurs AN et MN.

1. Le facteur qui fait passer du grand triangle ABC au petit triangle AMN vaut $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{5}\backslash frac\{AM\}\{AB\}=\backslash frac\{3\}\{5\}$.

2. Les côtés homologues AC et AN donnent $AN=AC\times \frac{3}{5}=10\times \frac{3}{5}=6AN=AC\backslash times\backslash frac\{3\}\{5\}=10\backslash times\backslash frac\{3\}\{5\}=6$. Ainsi, AN = 6 cm.

3. Les côtés homologues BC et MN donnent $MN=BC\times \frac{3}{5}=7\times \frac{3}{5}=\mathrm{4,2}MN=BC\backslash times\backslash frac\{3\}\{5\}=7\backslash times\backslash frac\{3\}\{5\}=4\{,\}2$. Ainsi, MN = 4,2 cm.

Le contrôle consiste à refaire les trois rapports : 3/5 = 6/10 = 4,2/7 = 0,6. Les valeurs retrouvées ont donc le même facteur d'échelle.

Dans un exercice de géométrie, on utilise le théorème associé à Thalès lorsqu'un segment parallèle coupe deux côtés d'un triangle. Le geste utile consiste à aligner les côtés homologues avant de calculer une longueur. Sans parallélisme établi, il faut choisir un autre raisonnement.

Dans un texte historique, on sépare ce que la tradition attribue à Thalès de ce qui est directement documenté. Comme aucun écrit de lui n'est conservé, le bon réflexe est de conserver les formulations prudentes « on lui attribue » ou « son nom est associé à ».

Pour reconnaître l'étendue de son héritage, on ne réduit pas Thalès à un seul théorème. Les indices observables sont aussi le demi-cercle, le triangle isocèle, les angles opposés par le sommet, l'écliptique et l'idée philosophique de l'eau comme principe de l'univers.

Thalès de Milet et le théorème de Thalès. Le premier est une personne de l'Antiquité grecque ; le second est un énoncé de proportionnalité qui porte son nom. Une question sur sa vie, Milet ou l'École ionienne concerne l'homme. Une figure avec des parallèles et des sécantes concerne le théorème.

Le théorème de proportionnalité et l'angle droit dans un demi-cercle. Le premier se reconnaît à des parallèles coupant des sécantes. Le second concerne un angle inscrit dont les extrémités reposent sur un diamètre. Les deux sont liés au nom de Thalès dans la source, mais ils n'énoncent pas la même propriété.

Une attribution n'est pas un texte de Thalès. Aucun écrit de lui n'est conservé. Le symptôme du piège est une citation ou une démonstration présentée comme directement transmise par Thalès. Il faut parler de témoignages ultérieurs et conserver le degré de prudence de la source.

Un nom ne prouve pas à lui seul une paternité. La source dit que plusieurs propositions lui sont attribuées et que son nom est associé au théorème. Elle ne fournit pas de texte original permettant une attribution directe. Il faut donc distinguer la dénomination actuelle de la preuve historique.

Le parallélisme est indispensable au calcul présenté. Si (MN) n'est pas parallèle à (BC), l'égalité des trois rapports n'est pas garantie. Même un tracé visuellement convaincant ne remplace pas cette hypothèse : il faut un codage ou une donnée explicite avant d'appliquer le théorème.

Les cas aux bornes changent la figure. Si M = A et N = A, le petit triangle est réduit à un point et la droite (MN) n'est pas définie : ce cas dégénéré sort du théorème usuel. On ne peut lui associer un facteur 0 qu'en prolongeant par convention la relation entre les longueurs. Si M = B et N = C, les deux triangles coïncident, le facteur vaut 1 et les rapports restent lisibles, mais il n'y a plus deux triangles distincts.

Le roi de la géométrie : le théorème de Thalès — Pour approfondir le résultat de proportionnalité qui a durablement attaché le nom de Thalès à la géométrie.